q二項定理

右辺を${\displaystyle \ f(a,z;q)}$として関数方程式を導く。

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f(a,z;q)&=(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\\&=\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\right)-z\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}-z{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}}z^{n-1}\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n}}}\left((1-aq^{n-1})z^{n}-(1-q^{n})z^{n}\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n}}}\left((1-aq^{n-1})q^{n}z^{n}-a(1-q^{n})q^{n-1}z^{n}\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}-az{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}}(qz)^{n-1}\right)\\&=\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}\right)-az\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}\\&=(1-az)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}\\&=(1-az)f(a,qz;q)\end{aligned}}}$

これにより、左辺を得る。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,z;q)&={\frac {1-az}{1-z}}f(a,qz;q)\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(1-az)_{n}}{(1-z)_{n}}}f(a,q^{n}z;q)\\&={\frac {(1-az)_{\infty }}{(1-z)_{\infty }}}f(a,0;q)\\&={\frac {(1-az)_{\infty }}{(1-z)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}$

左辺を${\displaystyle \ g(a,z;q)}$として関数方程式を導く。

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)g(a,z;q)&=(1-z)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-azq^{n}}{1-zq^{n}}}\\&=(1-z){\frac {1-az}{1-z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-azq^{n}}{1-zq^{n}}}\\&=(1-az)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aqzq^{n}}{1-qzq^{n}}}\\&=(1-az)g(a,qz;q)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle g(a,z;q)}$をテイラー級数に展開して${\displaystyle z^{n}}$の係数を比較すると

${\displaystyle {\begin{aligned}&g(a,qz;q)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=(1-az)\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(qz)^{n}\\&1+\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}-c_{n-1})z^{n}=1+\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}-ac_{n1})(qz)^{n}\\&c_{n}-c_{n-1}=c_{n}q^{n}-ac_{n-1}q^{n-1}\\&c_{n}={\frac {1-aq^{n-1}}{1-q^{n}}}c_{n-1}\\\end{aligned}}}$

となり、${\displaystyle c_{0}=1}$であるから

${\displaystyle c_{n}={\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}}$

となる。これにより、右辺を得る。

${\displaystyle g(a,z;q)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}}$

コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である[2]。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)}$

ただし、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}}$

はq二項係数である。q二項定理に${\displaystyle a=q^{-N},z=-q^{N+1}y}$を代入すると

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}={\frac {(-qy;q)_{\infty }}{(-q^{N+1}y;q)_{\infty }}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}}}}$

となるが、左辺は${\displaystyle n>N}$で${\displaystyle (q^{-N};q)_{n}=0}$となり、右辺は${\displaystyle k{\geq }N}$の分子が${\displaystyle k-N}$の分母を打ち消す。従って、

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}=\prod _{k=0}^{N-1}{\frac {1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}}}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)}$

である。左辺はqポッホハマー記号の変換式${\displaystyle (aq^{-n+1};q)_{n}=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left(a^{-1};q\right)_{n}}$により、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{-N+n-1}q^{-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-1)^{n}q^{n(N+1)}y^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-q^{-N+n-1})^{n}q^{-n(n-1)/2}(q^{N-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-1)^{n}q^{n(N+1)}y^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{-n(N+1)}q^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-1)^{n}q^{n(N+1)}y^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}q^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}q^{n(n+1)/2}(q;q)_{N}}{(q;q)_{N-n}(q;q)_{n}}}\\&=\sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}\\\end{aligned}}}$

となる。

1. Wolfram Mathworld: q-Binomial Theorem
2. Wolfram Mathworld: Cauchy Binomial Theorem