q-類似

最も基本的な q-数 [n]_q とは、自然数 n の q-類似であって、q → 1 の極限で [n]_q → n となるように

${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}}$

と定義される。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、${\displaystyle q\mapsto q^{-1}}$ で不変な

${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}}}}$

あるいは

${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n/2}-q^{-n/2}}{q^{1/2}-q^{-1/2}}}}$

と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の q-階乗やq-二項係数は q-数を用いて同様に定義される。

またq-階乗 [n]_q! は、q-数によって

${\displaystyle [n]_{q}!:=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}}$

と定義される。ただし (q; q)_n はq-ポッホハマー記号を表す。

このとき S_n を n 次の対称群、inv(σ) を置換 σ の転倒数として、

${\displaystyle [n]_{q}!=\sum _{\sigma \in S_{n}}q^{\operatorname {inv} (\sigma )}}$

が成り立つ[1]。これは ${\displaystyle q\to 1}$ の極限で、通常の階乗 ${\displaystyle n!}$ が ${\displaystyle n}$ 個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。 また有限体 F_q 上の一般線型群 GL(n, q) の位数は

${\displaystyle \vert \operatorname {GL} (n,q)\vert =[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{\binom {n}{2}}}$

と表せる。

q-二項係数は、二項係数の q-類似で、

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}}$

によって定義される[1]。q が素数のべきのとき、q-二項係数は有限体 F_q 上の n 次元線型空間内における k 次元部分空間の数に等しい[1]。

より一般に q-多項係数は n = k₁ + … + k_m のとき

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[k_{1}]_{q}!\dotsm [k_{m}]_{q}!}}}$

によって定義される[1]。 このとき

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\binom {n}{k_{1}}}_{q}{\binom {n-k_{1}}{k_{2}}}_{q}\dotsm {\binom {n-k_{1}-\dotsb -k_{m-1}}{k_{m}}}_{q}}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\binom {n-1}{k}}_{q}+q^{n-k}{\binom {n-1}{k-1}}_{q}}$

のようなよく知られた等式の類似が成り立つ[1]。

q-微分は微分の q-類似で、任意の関数 ƒ(x) について q-微分を

${\displaystyle d_{q}(f(x))=f(qx)-f(x)}$

によって定義する。さらに導関数の q-類似である q-導関数は

${\displaystyle D_{q}(f(x))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}}$

によって定義される[2]。