Well-defined

数学におけるwell-defined[注釈 1]（ウェル・ディファインド）は、「定義によって一意の解釈または値が割り当てられる」ことを言う[2]。

定義

ある定義がwell-definedであるのは次の二命題が示されたときである[3]。

実際に成立する
（定義で）示された表式が成立しない場合[注釈 2]、well-definedであるとは言えない。
経由する中途の表式に依存しない
往々にして、（数学上の）定義はいくつもの表式を経由する[注釈 3]。このとき、最終的な結論が中途の表式に依存している場合[注釈 4]、well-definedであるとは言えない。

つまり定めた対象が一意に存在しているとき、well-definedであるという。

代数学的定義

写像と定義域上の同値関係に対して、次のように数式を用いて記述することもできる。 集合X上の同値関係≡と写像f: X → Yに対して

x ≡ x′ ならば f(x) = f(x′)

が任意のx, x′ ∈ Xに対して成立するとき、写像fは関係≡に関してwell-definedであると言う[5]。

「同値関係のもとでのwell-defined性」および「準同型定理」を参照

例

実数a > 0のx乗の定義を考える。 xが有理数の場合に良く定義されているとして、xが実数の場合に定義を拡張したいとする。 このときxに収束する有理数列{xn} ∞
n = 1 を用いて

ax ≔ limn → ∞ axn

と定義する場合、well-defined性が問題になる[3]。 実際は、そのような{xn}を取ることができるし、右辺の極限は収束して極限値は{xn}の取り方によらずに一意に定まる （特にxが有理数のとき、もともとの定義と一致する）[6]。 したがってこの定義はwell-definedである。

脚注

注釈
  1. 「容易く理解できる」といった意味の英語の形容詞である（反意語は ill-defined）[1]。
  2. 例えば極限値を用いた定義で、そもそも極限が存在しない場合など[3]。
  3. 例えば交わる二直線の狭角に関する定義で、その交点に（便宜的な理由から）新しい名前を付けるなど[4]。
  4. 前注釈の例を引き継いで述べると、用意した交点の位置（や名前）が変わると最終的な（定義の）結論が変わってしまう場合。

出典
  1. oxf 2015, well-defined.
  2. Weisstein 2008.
  3. 雪江 2010, p. 10.
  4. 数セミ 1999, p. 53.
  5. 横田 1976, p. 60.
  6. Denlinger 2011, p. 282.

参考文献
  • Denlinger, Charles G. (2011). Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. ISBN 978-0-7637-7947-4
  • (英語) オックスフォード現代英英辞典 (9 ed.). オックスフォード大学出版局. (2015)
  • Weisstein, Eric W. (2008年6月1日). “Well-Defined -- from Wolfram MathWorld”. 2021年3月27日閲覧。
  • 雪江 明彦『代数学1 群論入門』（初版）日本評論社、2010年11月25日。ISBN 978-4-535-78659-2。
  • 横田 一郎『例題が教える群論入門』（初版）現代数学社、1976年11月20日。 NCID BN03365362。
  • 数学セミナー編集部 編『数学の言葉づかい100』（初版）日本評論社、1999年4月25日。 NCID BA41426277。

関連項目
  • 定義
  • 未定義 (数学) (undefined)
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