Z階数曲線

下図に 2次元における z値 について整数の座標群 0 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 7 （10進数と2進数で表示）の範囲で図示する。2進数の相互配置的な並びに着目すると、2進数で表した座標値（＝インデックス値）には2進数の z値 が含まれる。 z値 を数値的に昇順に繋げるとZ字型の曲線が生成される。2次元におけるZ値群は quadkey （意訳; 四つ子の鍵）とも呼ばれる。

座標のx値はZ値にモーサー-ドブリュン数列（英語: Moser–de Bruijn sequence）による2進数値群として0ビット目、2ビット目、4ビット目のように偶数ビット群に現れる:

x[] = {0b000000, 0b000001, 0b000100, 0b000101, 0b010000, 0b010001, 0b010100, 0b010101}

2つのx値の和と差はビット単位演算により計算できる:

x[i+j] = ((x[i] | 0b10101010) + x[j]) & 0b01010101
x[i-j] = ((x[i] & 0b01010101) - x[j]) & 0b01010101  但し i >= j の場合

この性質から、現在の z値 の座標を右（x値を増加）、左（x値を減少）、下（y値を増加）、上（y値を減少）へオフセットした他の座標の z値を計算できる:

上 = ((z & 0b10101010) - 1 & 0b10101010) | (z & 0b01010101)
下 = ((z | 0b01010101) + 1 & 0b10101010) | (z & 0b01010101)
左 = ((z & 0b01010101) - 1 & 0b01010101) | (z & 0b10101010)
右 = ((z | 0b10101010) + 1 & 0b01010101) | (z & 0b10101010)

2つの2次元のZ値群に一般化すると:

和 = ((z | 0b10101010) + (w & 0b01010101) & 0b01010101) | ((z | 0b01010101) + (w & 0b10101010) & 0b10101010)

Z階数曲線の応用により4分木を効率的に構築できる。[2]基本戦略としてz値に基いた並べ替えを施す。一度この並べ替えを済ませれば、格納されたデータに対し直接的に2分木探索を行える線形4分木構造となる。[3]

通常、入力点群は次元ごとに正の整数へ正規化し機械語が対応するサイズとするが、範囲 [ 0, 1 ] の固定小数点表現とする事もある。何れにせよ最上位の非零のビットは定数時間で探索可能となる。4分木の内包する4つの正方形は辺の長さが2の冪乗で、角の座標は辺の長さの倍数となる。このうちの2点を決定すれば、その両方の点に囲まれた derived square （ 子要素の正方形 ）も決まる。なお、この手法では x 要素と y 要素のビット群の相互配置性は shuffle （ 混ぜ合わせ ）と呼ぶ。これらの特徴はより高次元に対しても拡張できる。[2]

点群は実際にビットの相互配置をせずとも shuffle からソート可能である。先ず次元ごとに、2点の最上位ビットの排他的論理和を評価し、次に最上位ビットが最大の次元で shuffle の順位を決める。

排他的論理和は2点の座標が同一の場合最上位ビットをマスクする。shuffle は上位から下位へとビットを相互配置するので、最大の最上位ビットを持つ座標を識別でき、異なる shuffle 順位の最初のビットも識別でき、よって2点の座標を比較できる。[4] 以下に Python のソースコードを示す:

    def cmp_zorder(a, b):
        j = 0
        k = 0
        x = 0
        for k in range(dim):
            y = a[k] ^ b[k]
            if less_msb(x, y):
                j = k
                x = y
        return a[j] - b[j]

各点で底2の対数の床値を比較していることが最も重要である。これは以下と等価であり、排他的論理和しか使用しない:[4]

    def less_msb(x, y):
        return x < y and x < (x ^ y)

浮動小数点数についても同様に比較可能である。その場合、 less_msb 関数は最初に指数部を比較するよう変更する。そして指数部が等しい場合にのみ元の less_msb 関数を適用する。[5]

一度、点群が順位により並べ替えられたなら、次の2つの特性により4分木を容易に構築可能となる: 第1に、4分木の正方形に含まれる点群はz値による並べ替えにより隣接した相互配置を構築できる特性。第2に、ある正方形に2つ以上の点が含まれているならば、それは derived square （子要素の正方形）となっている特性。

derived square の隣接する点の対ごとの正方形の辺の長さは元となる最初の大きな正方形から計算できる。[2] derived square の相互配置ごとに4分木の正方形に相当する圧縮された4分木が得られ、ノード群には入力点または2つ以上の子要素が保存される。必要に応じて非圧縮の4分木も復元できる。

こうして、ポインターに基づいた4分木ではなく2分木のようなデータ構造で点群を維持できる。これにより、点の追加と削除は O(log n) 時間で可能となる。また、2つの4分木の結合も2つの並べ替え済みとした点群から行え、重複も削除できる。点の位置の前後の走査も容易にできる。[6]

局所性を良好に保ちながら効率的な範囲検索を行いたいようなアルゴリズムでは、データ構造内で遭遇した点から、次の多次元の探索範囲にあるZ値への計算が必要である:

この例では、照会したい範囲（ x = 2,...,3, y = 2,...,6 ）を点で囲まれる矩形で表した。このうちで最大のz値は MAX は 45 である。この例においては、照会対象をz値に基いて探索するうちに F = 19 に遭遇するため、 F と MAX の間のz値の範囲（斜線の領域）について探索が必要となる。探索を高速化として、照会したい範囲の未照会の範囲で最小のz値 BIGMIN （この例では 36 ）を計算し、 BIGMIN と MAX の間の区間（太字の範囲）のみを探索する事で、斜線領域の多くを飛ばせる。もし、逆向きに探索する場合は BIGMIN と同様に、照会範囲内で F よりも小さな最大の Z値 LITMAX を計算する。この BIGMIN 問題は Tropf と Herzog に提起され解決されている。[7] この手法は UB木 の "GetNextZ-address" でも用いられる。この手法は元の1次元のデータ構造に依存せずデータを容易かつ自由に構造化可能なため、B木のような既知の手法を用いて動的データへ対応できる。（これはR木が特別な配慮を要する事と対照的である。）

（元のデータ構造に従って）階層的にこの手法を適用すれば、増加方向、減少方向の何れであれ、非常に効率的な多次元の範囲検索を適用でき、最近傍探索の基礎として商用あるいは技術的にも重要である。Z階数を応用した多次元の商用データベースシステムがいくつか製品化されている（オラクルデータベース 1995,[8] en:Transbase 2000 [9]）。

今は昔となる 1966 に、G.M.Morton が地理学的データベースの静的な2次元のファイル群についてZ階数を提案した。面のデータ単位には1つまたは幾つかの二次的な、Z値に基づいた枠を含んでいた。高確率で隣接フレーム間の参照を僅かな走査ステップで可能であった。

代わりにヒルベルト曲線を用いれば、より優れた順序保存性を持つと提案されているが、計算が複雑となるためプロセッサーのオーバーヘッドが大きくなってしまう。Z曲線とヒルベルト曲線の両方についてBIGMINのソースコードが H. Tropf によるアメリカ合衆国の特許に記載されている。[10]

多次元のデータ処理、最近傍探索などについては ハナン・サメット（英語: Hanan Samet） の教科書が参考となる。[11]

• 空間充填曲線
• en:UB-tree
• ヒルベルト曲線
• en:Hilbert R-tree
• 空間インデックス
• ジオハッシュ
• en:Locality preserving hashing
• en:Matrix representation
• 線形代数学

• STANN: A library for approximate nearest neighbor search, using Z-order curve
• Methods for programming bit interleaving, Sean Eron Anderson, Stanford University