シャッテンノルム

${\displaystyle H_{1}}$ と ${\displaystyle H_{2}}$ を可分なヒルベルト空間とし、${\displaystyle T}$ を ${\displaystyle H_{1}}$ から ${\displaystyle H_{2}}$ への（線型）コンパクト作用素とする。${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ に対して、作用素 ${\displaystyle T}$ のシャッテン p-ノルムは次のように定義される：

${\displaystyle \|T\|_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}.}$

ここで、${\displaystyle s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \dotsb \geq s_{n}(T)\geq \dotsb \geq 0}$ は ${\displaystyle T}$ の特異値、すなわち、コンパクトエルミート作用素 ${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$ の固有値であるとする。正作用素 T*T に関する汎函数計算により、次式が従う：

${\displaystyle \|T\|_{p}^{p}=\operatorname {tr} (|T|^{p})}$

シャッテンノルムが有限であるような作用素はシャッテンクラス作用素と呼ばれ、そのような作用素からなる空間は ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$ と表される。シャッテンノルムについて、空間 ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$ はバナッハ空間であり、p=2 の場合はヒルベルト＝シュミット作用素からなるヒルベルト空間である。

シャッテンノルムはユニタリ不変である。すなわち、ユニタリ作用素 ${\displaystyle U}$ と ${\displaystyle V}$ に対して、

${\displaystyle \|UTV\|_{p}=\|T\|_{p}}$

が成り立つ。

極分解により、p-次シャッテンクラス作用素の空間は B(H) 内のイデアルであることが証明される。${\displaystyle \|\ \|_{2}}$ はヒルベルト＝シュミットノルム（ヒルベルト＝シュミット作用素を参照）であり，また ${\displaystyle \|\ \|_{1}}$ はトレースクラスノルム（トレースクラスを参照）であることに注意されたい。

• 行列ノルム