ジョルダン標準形

正方行列 A のジョルダン標準形 J = P⁻¹AP と、特性多項式 ${\displaystyle f_{A}(x)=\det(xI-A)}$、最小多項式 ${\displaystyle \varphi _{A}(x)}$ には次のような関係がある。

なお、最小多項式とは f(A) = O となる多項式 f(x) のうち、次数が最小で、最高次係数が 1 のもの（モニック）を言う。f(A) = O となる多項式 f(x) は、多項式として ${\displaystyle \varphi _{A}(x)}$ で割り切れる（多項式としての除算の余りがゼロとなる）という性質がある。ケイリー・ハミルトンの定理により f_A(A) = O であり、f_A(x) は多項式として ${\displaystyle \varphi _{A}(x)}$ で割り切れる。

(1) ${\displaystyle f_{A}(x)=\det(xI-A)=\det P^{-1}\det(xI-A)\det P=\det(xI-P^{-1}AP)=\det(xI-J)=f_{J}(x)}$ より、

${\displaystyle f_{A}(x)=f_{J}(x)}$

(2) 多項式${\displaystyle f(x)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}c_{k}x^{k}}$ について、${\displaystyle f(P^{-1}XP)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}c_{k}(P^{-1}XP)^{k}=P^{-1}\sum \limits _{k=0}^{n}c_{k}X^{k}P=P^{-1}f(X)P}$ が言えるため、次が言える。

${\displaystyle \varphi _{A}(J)=\varphi _{A}(P^{-1}AP)=P^{-1}\varphi _{A}(A)P=O}$ よって ${\displaystyle \varphi _{A}(x)}$ は、多項式として ${\displaystyle \varphi _{J}(x)}$ で割り切れる

${\displaystyle \varphi _{J}(A)=\varphi _{J}(PJP^{-1})=P\varphi _{J}(J)P^{-1}=O}$ よって ${\displaystyle \varphi _{J}(x)}$ は、多項式として ${\displaystyle \varphi _{A}(x)}$ で割り切れる

最小多項式はモニックであるため ${\displaystyle \varphi _{A}(x)=\varphi _{J}(x)}$

(3) 特性多項式が ${\displaystyle f_{A}(x)=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{m}(x-\lambda _{k})^{n_{k}}}$ と因数分解（λ_k は相異なる）される場合、${\displaystyle \dim(A)=\textstyle \sum \limits _{k=1}^{m}n_{k}}$ であり、J の対角線上には λ_k が n_k個並ぶ。

(4) 最小多項式が ${\displaystyle \varphi _{A}(x)=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{m}(x-\lambda _{k})^{r_{k}}}$ と因数分解（λ_k は相異なる）される場合、J の固有値 λ_k のジョルダン細胞の中で、次数が最大のものの次数は r_k である。

例1 特性多項式が ${\displaystyle (x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})}$、最小多項式が ${\displaystyle (x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})}$の場合、${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}}$

例2 特性多項式が ${\displaystyle (x-\lambda )^{2}}$、最小多項式が ${\displaystyle (x-\lambda )^{2}}$の場合、${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{bmatrix}}}$

例3 特性多項式が ${\displaystyle (x-\lambda )^{2}}$、最小多項式が ${\displaystyle x-\lambda }$ の場合、${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}}$

例4 特性多項式が ${\displaystyle (x-\lambda )^{4}}$、最小多項式が ${\displaystyle (x-\lambda )^{2}}$ の場合、${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&\lambda &1\\0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}}$ または ${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&\lambda &0\\0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}}$

対角行列は次数が1のジョルダン細胞のみからなるジョルダン標準形である。

次の複素成分正方行列 A のジョルダン標準形は次のようになる。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\-2&5\end{bmatrix}},~P={\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}\\1&0\end{bmatrix}},~P^{-1}AP={\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}}}$

また次で定めるベクトル u, v は Au = 3u と Av = 3v + u とを満たすので行列 A のジョルダン基底である。

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},~v={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}\\0\end{bmatrix}}}$

この行列 A の半単純成分 S と冪零成分 N への分解は次のようになる。

${\displaystyle S=P{\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}}P^{-1}={\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}},~N=P{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}P^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\-2&2\end{bmatrix}},~A=P\left({\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)P^{-1}=S+N}$

この分解は N² = 0 や SN = NS が成り立つので、 行列の指数関数や冪乗の計算に役立つ。

${\displaystyle e^{At}=e^{St+Nt}=e^{St}e^{Nt}=e^{St}(I+Nt)=e^{3t}{\begin{bmatrix}1-2t&2t\\-2t&1+2t\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{n}=(S+N)^{n}=S^{n}+nS^{n-1}N=3^{n-1}{\begin{bmatrix}3-2n&2n\\-2n&3+2n\end{bmatrix}}}$

n次正方行列 A のジョルダン標準形は次のように計算できる[4]。以下では n次単位行列を I で表す。

入力

n次正方行列 A

出力

P⁻¹AP がジョルダン標準形となる n次正則行列 P

アルゴリズム

1. 行列 A の相異なる固有値 λ₁, …, λ_s を求める
2. A_i = A − λ_i I とおく
3. rank A_i ^k_i = rank A_i ^k_i+1 となる最小の自然数 k_i を求める
4. W_i,j = im A_i ^j ∩ ker A_i とおく
5. 部分空間の増大列 W_i,ki−1 ⊂ … ⊂ W_i,1 ⊂ W_i,0 = ker A_i に沿って ker A_i の基底 b_i,1, …, b_i,ti を求める[注釈 1]
6. b_i,j ∈ W_i,di,j − W_i,di,j+1 となる自然数 d_i,j を求める
7. 連立一次方程式 A_i ^d_i,j x_i,j = b_i,j の解 x_i,j を求める
8. e_i,j = A_i ^j x_i,j とおく
9. P_i,j = [e_i,di,j, …, e_i,1, e_i,0] とおく
10. P = [P_1,1, …, P_1,t1, …, P_s,1, …, P_s,ts] を出力

定理

任意の線形変換 f に対しジョルダン基底は存在する。

証明は線形空間の次元 ${\displaystyle n=\dim V}$ についての帰納法で、n = 1 なら全ての基底がジョルダン基底だからOK、n − 1 までOKとして、${\displaystyle n=\dim V}$ とする。次の明らかな補題が証明の鍵である。

補題

${\displaystyle \{e_{i,j}\}}$ が f のジョルダン基底なら、${\displaystyle f-\lambda 1_{V}}$ のジョルダン基底でもある。ここで λ はスカラー。

この補題により ${\displaystyle \operatorname {rank} f=r<n}$ の場合に示せばよい。このとき ${\displaystyle V'=\operatorname {im} f,\ f'=f|_{V'}}$ とすると、帰納法の仮定で、f' のジョルダン基底 ${\displaystyle \{e_{ij}\}}$ が取れる。番号を ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\dotsb =\lambda _{s}=0}$、i > s なら λ_i ≠ 0 となるようにとる。${\displaystyle e_{1,1},e_{2,1},\dotsc ,e_{s,1}}$ は ${\displaystyle \ker f}$ の元で線形独立だから、これらに ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{n-r-s}}$ を加えて ${\displaystyle \ker f}$ の基底を作る。また V の元 ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dotsc ,c_{s}}$ を ${\displaystyle f(c_{i})=e_{i,n_{i}}}$ となるようにとる。このとき n 個のベクトル ${\displaystyle \{e_{i,j}\}\cup \{b_{i}\}\cup \{c_{i}\}}$ が線形独立であることは容易に分かり、これらは V の基底である。${\displaystyle c_{i}=e_{i,n_{i}+1},\ b_{i}=e_{k+i,1}}$ と番号づけると、これが f のジョルダン基底となる。[証明終わり]

${\displaystyle V=K^{n}}$ で f が行列 ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})}$ で表されるとき、 ${\displaystyle \operatorname {rank} A=r}$ なら、${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}}$ が線形独立としてよい。このとき ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}}}$ は行変形で ${\displaystyle {\begin{bmatrix}E_{r}&R\\0&0\end{bmatrix}}}$ と簡約化される。

命題

上のとき、${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}}$ は V' の基底であるが、この基底に関する f' の表現行列は ${\displaystyle A_{1,1}+RA_{2,1}}$ である。

命題の証明は略するが、これを用いると上のジョルダン基底の存在証明は、同時に行列のジョルダン標準形と変換行列を求めるアルゴリズムにもなっている。

• 斎藤正彦『線型代数入門』（初版）東京大学出版会、1966年。ISBN 978-4-13-062001-7。
• Hogben, Leslie, ed (2007). Handbook of Linear Algebra. Discrete mathematics and its applications. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-510-8. https://books.google.com/books?id=n2g-x1OIbvYC

• 対角化
• スペクトル定理

• 『ジョルダン標準形の意味と求め方』 - 高校数学の美しい物語

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