トランスクリティカル分岐

力学系には、連続的な時間で考える連続力学系と、離散的な時間で考える離散力学系がある[1]。どちらの種類の力学系でも、トランスクリティカル分岐と見なされる分岐が存在する[2]。力学系の分岐には、固定点（連続力学系では平衡点ともいう）の近傍の振る舞いが変化する局所的分岐と、1つの固定点の近傍に限定されない大局的な振る舞いが変化する大域的分岐がある[3]。トランスクリティカル分岐は局所的分岐の主な例の一つで、1次元以上の系で起こり得る[4]。ただし、多次元相空間で起こる場合でもトランスクリティカル分岐による振る舞いの変化はある1次元部分空間上に制限されており、中心多様体の理論によって1次元ベクトル場または1次元写像の分析に帰着できる[5]。

トランスクリティカル分岐には、2つの固定点が関わる[6]。1つの固定点は安定（源点）で、もう一つの固定点は不安定（沈点）である[7]。パラメータを変化させると、1つの固定点がもう1つの固定点に近づいていき、衝突して通り過ぎる。したがって、トランスクリティカル分岐では固定点の数は分岐（衝突）後も変わらない[8]。しかし、それぞれの固定点の安定性が分岐によって入れ替わる[9]。このような2つの固定点間での安定性の交換がトランスクリティカル分岐の特徴であり、安定性交替型分岐とも呼ばれる[6]。遷臨界型分岐や遷臨界分岐といった呼び方がされることもある[10][11]。

トランスクリティカル分岐は非双曲型固定点で起こる分岐であり、連続力学系では分岐点でヤコビ行列が固有値 0 を1つ持ち、離散力学系では分岐点でヤコビ行列が固有値 1 を1つ持つ[12]。このような分岐は連続力学系ではゼロ固有値分岐と呼ばれ、トランスクリティカル分岐はその一種である[13]。

標準形に限定されない一般的な力学系において、トランスクリティカル分岐の一般的な発生条件は次のように整理できる。1つのパラメータを持つ一般的な1次元ベクトル場

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,\mu ),\ x\in \mathbb {R} ,\ \mu \in \mathbb {R} }$

が与えられたとする。ベクトル場 f(x, μ) が固定点 x^* = 0 を持ち、さらに以下の条件を満たすとき、分岐値 μ_c = 0 で f(x, μ) はトランスクリティカル分岐を起こす[28]。

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial x}}=0\\{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu }}=0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x^{2}}}\neq 0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x\,\partial \mu }}\neq 0\end{cases}}}$

上記の一般的条件は (x = 0, μ = 0) に限定されない[29]。分岐点が任意の値の組 (x = x^*, μ = μ_c) でも、(x = x^*, μ = μ_c) で条件が満たされればトランスクリティカル分岐が起きる[29]。

別の見方では次のような定理が成立する。上記の条件を満たす f(x, μ) は、x と μ に適当な変換を施せば、分岐点 (x = 0, μ = 0) 近傍で

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=ay\pm y^{2}+O(y^{3})}$

という形に書き直すことができる[30]。ここで、y は新たな変数、a は新たなパラメータ、O(y³) はランダウの記号である。

離散力学系の場合は次のとおりである。1パラメータ族の一般的な1次元写像

${\displaystyle x\mapsto f(x,\mu )}$

が条件

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial x}}=1\\{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu }}=0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x^{2}}}\neq 0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x\,\partial \mu }}\neq 0\end{cases}}}$

を満たすとき、(x = 0, μ = 0) で写像 f(x, μ) はトランスクリティカル分岐を起こす[31]。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu \ln x+x-1}$で起きるトランスクリティカル分岐の様子。

次の微分方程式はトランスクリティカル分岐を起こす一例である[32]。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu \ln x+x-1}$

この系では x = 0 が μ によらず常に固定点となる[32]。分岐値は μ_c = −1 で、(x = 0, μ = −1) でトランスクリティカル分岐が起こる[32]。

次の写像は離散力学系でトランスクリティカル分岐を起こす一例で、ロジスティック写像として知られる[33][34]

${\displaystyle x\mapsto \mu x(1-x)}$

この系でも x = 0 が μ によらず常に固定点である[33][34]。分岐値は μ_c = 1 で、(x = 0, μ = 1) でトランスクリティカル分岐が起こる[33][34]。

一般に、連続力学系の周期軌道の問題は、ポアンカレ写像によって次元を1つ減らした離散力学系の問題に帰着できる[35]。周期軌道のポアンカレ写像がトランスクリティカル分岐が起こす場合は、元の相空間上では2つの安定・不安定な周期軌道が衝突・通過し、安定性が入れ替わるような挙動となる[36]。

• 小室 元政、2005、『基礎からの力学系 ―分岐解析からカオス的遍歴へ』新版、サイエンス社 ISBN 4-7819-1118-8
• 松葉 育雄、2011、『力学系カオス』第1版、森北出版 ISBN 978-4-627-15451-3
• S. ウィギンス、丹羽 敏雄（監訳）、今井 桂子・田中 茂・水谷 正大・森 真（訳）、2013、『非線形の力学系とカオス』新装版、丸善出版 ISBN 978-4-621-06435-1
• Steven H. Strogatz、田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人（訳）、2015、『ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6
• 桑村 雅隆、2015、『パターン形成と分岐理論 ―自発的パターン発生の力学系入門』初版、共立出版〈シリーズ・現象を解明する数学〉 ISBN 978-4-320-11004-5

• ウィキメディア・コモンズには、トランスクリティカル分岐に関するカテゴリがあります。
• Weisstein, Eric W. "Transcritical Bifurcation". mathworld.wolfram.com (英語).