ネヴァンリンナ理論

a ∈ C とし、次式のように定義する。

${\displaystyle \quad N(r,a,f)=N\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right),\quad m(r,a,f)=m\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right)}$

ここで、 a = ∞ とすると、 N(r,∞,f) = N(r,f), m(r,∞,f) = m(r,f) となる。

ネヴァンリンナ理論の第一基本定理は、リーマン面の全ての a について、次のことを述べている。

${\displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),\,}$

ここで、境界項 O(1) は f と a に依存することがある[4]。平面上の非定常な有理型関数の場合、 r が無限大になるにつれて T(r, f) は無限大になるので、第一基本定理は、和 N(r,a,f) + m(r,a,f) が a に依存しない速度で無限大になることを述べている。第一基本定理は、イェンセンの公式の単純な帰結である。

標数関数は、次のような性質を持っている。

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}T(r,fg)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,f+g)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,1/f)&=&T(r,f)+O(1),\\T(r,f^{m})&=&mT(r,f)+O(1),\,\end{array}}}$

ここで、 m は自然数である。 T(r,f) が無限大に傾いているとき、境界項 O(1) は無視できる値である。これらの代数的性質はネヴァンリンナの定義とイェンセンの公式から簡単に得られる。

N(r, f) を N(r,f) と同じように定義するが、多重度は考慮しない（すなわち、異なる極の数だけを数える）。すると、N₁(r,f) は，f の臨界点のネヴァンリンナ個数関数として次式のように定義される。

${\displaystyle N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right)=N(r,f)+{\overline {N}}(r,f)+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right)}$

第二基本定理は、リーマン面上の k 個の異なる値 a_j について、次のことを示す。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}m(r,a_{j},f)\leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f).\,}$

これは、次のことを意味する。

${\displaystyle (k-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{k}{\overline {N}}(r,a_{j},f)+S(r,f)}$

ここで、 S(r,f) は誤差項である。

平面上の有理型関数については、有限長の集合の外では、S(r,f) = o(T(r,f)) すなわち誤差項は、「ほとんどの」 r の値の標数に比べて小さい。もっと良い誤差項の推定値が知られているが、アンドレ・ブロッホが予想し、ヘイマンが例外的な集合を処分できないことを証明した。

第二基本定理では、 N(r,a) の観点から標数関数の上限を与えることができる。例えば、 f が超越的な整関数である場合、 k = 3 、a₃ = ∞ として第二基本定理を用いると、 f は、最大でも2つの例外を除いて、全ての値を無限に取ることが得られ、ピカールの定理が証明される。

第二基本定理のネヴァンリンナによる元の証明は、 m(r,f'/f) = S(r,f) であるという、いわゆる対数微分に関するレンマに基づいている。同様の証明は、多くの多次元一般化にも適用される。また、ガウス・ボネの定理に関連する微分幾何学的証明もある。第二基本定理は計量位相論的なアールフォルス理論からも導き出されるが、これはリーマン・フルヴィッツの公式を無限次の被覆に拡張したものと考えることができる。

ネヴァンリンナとアールフォルスの証明は、第二基本定理の定数 2 がリーマン面のオイラー標数に関係していることを示している。しかし、この 2 については、チャールズ・オスグッドとポール・ヴォイタによって発見された数論との深い類推に基づいた全く異なる説明がある。この類推によれば、 2 はトゥエ・ジーゲル・ロスの定理の指数である。この数論との類推については、Lang (1987)の調査とRu (2001)の本を参照のこと。

欠陥関係(defect relation)は、第二基本定理の主要な従属関係の一つである。点 a における有理型関数の欠陥は、次の式で定義される。

${\displaystyle \delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}}$

第一基本定理では、 T(r,f) が無限大になる場合、 0 ≤ δ(a,f) ≤ 1 となる（これは平面上で有理型化する不変関数の場合には常にそうなる）。 δ(a,f) > 0 となる点 a を欠陥値(deficient values)と呼ぶ。第二基本定理は、平面内の有理型関数の欠損値の集合は可算集合であり、次の関係が成り立つことを暗示している。

${\displaystyle \sum _{a}\delta (a,f)\leq 2}$

ここで、和は全ての欠陥値を含む[5]。これはピカールの定理の一般化と考えることができる。他の多くのピカール型定理は第二基本定理から派生することができる。

第二基本定理のもう一つの補論として，次のように求めることができる。

${\displaystyle T(r,f')\leq 2T(r,f)+S(r,f)}$

これは、次数 d の有理関数が 2d − 2 < 2d の臨界点を持つという事実を一般化したものである。

ネヴァンリンナ理論は、微分方程式や関数方程式[6][7]の正則力学系の解析理論、極小曲面、ピカールの定理の高次元への一般化を扱う複素双曲幾何学のように、超越的な有理型関数が発生する全ての問題に有用である[8]。

20世紀の単変数の複素関数に関する研究のほとんどが、ネヴァンリンナ理論に焦点が当てられていた。この研究の一つの方向性は、ネヴァンリンナ理論の主要な結論が最良のものであるかどうかを見出すことであった。例えば、ネヴァンリンナ理論の逆問題は、与えられた点であらかじめ割り当てられた欠陥を持つ有理型関数を構築することからなる。これは1976年にデイビット・ドラシンによって解かれた[9]。もう一つの方向性は、平面上の全ての有理型関数のクラスの様々なサブクラスの研究に集中していた。最も重要なサブクラスは有限次数の関数である。このクラスでは、欠陥関係に加えて、欠陥がいくつかの制限を受けることが判明した（Norair Arakelyan、デイビット・ドラシン、de:Albert Edrei、アレクサンドル・エレメンコ、ヴォルフガング・フックス、アナトリー・ゴルドベルク、ウォルター・ヘイマン、Joseph Miles、Daniel Shea、オズヴァルト・タイヒミュラー、Alan Weitsmanら）。

アンリ・カルタン、ヘルマン・ワイル、ヨアキム・ワイル[1]、ラース・ヴァレリアン・アールフォルスは、ネヴァンリンナ理論を正則曲線に拡張した。この拡張は、複素双曲幾何学の主要なツールである[10]。ヘンリック・セルバーグとジョルジュ・ヴァリロンはネヴァンリンナ理論を代数型関数に拡張した[11]。古典的な一次元理論の集中的な研究は今も続いている[12]。

• ヴォイタ予想

• Lang, Serge (1987). Introduction to complex hyperbolic spaces. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96447-8. Zbl 0628.32001
• Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine geometry. Springer-Verlag. pp. 192–204. ISBN 978-3-540-61223-0. Zbl 0869.11051
• Nevanlinna, Rolf (1925), “Zur Theorie der Meromorphen Funktionen”, Acta Mathematica 46 (1–2): 1–99, doi:10.1007/BF02543858, ISSN 0001-5962
• Nevanlinna, Rolf (1970) [1936], Analytic functions, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 162, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR0279280, https://books.google.com/books?id=LDLvAAAAMAAJ
• Ru, Min (2001). Nevanlinna Theory and Its Relation to Diophantine Approximation. World Scientific Publishing. ISBN 978-981-02-4402-6

• Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). “13. Nevanlinna Theory”. Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. pp. 444–478. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1115.11034
• Vojta, Paul (1987). Diophantine Approximations and Value Distribution Theory. Lecture Notes in Mathematics. 1239. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-17551-3. Zbl 0609.14011
• Vojta, Paul (2011). “Diophantine approximation and Nevanlinna theory”. In Corvaja, Pietro; Gasbarri, Carlo. Arithmetic geometry. Lectures given at the C.I.M.E summer school, Cetraro, Italy, September 10--15, 2007. Lecture Notes in Mathematics. 2009. Berlin: Springer-Verlag. pp. 111–224. ISBN 978-3-642-15944-2. Zbl 1258.11076

• Petrenko, V.P. (2001), “Value-distribution theory”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Value-distribution_theory
• Petrenko, V.P. (2001), “Nevanlinna theorems”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Nevanlinna_theorems