可算集合

可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。

また、高々可算な集合とは、N の濃度以下の濃度を持つ集合のことである。すなわち、集合 S が高々可算であるとは、S から N へ単射が存在することをいう。これは、N から S へ全射が存在することと同値である。

慣例では、可算集合の濃度を ${\displaystyle \aleph _{0}}$（アレフゼロ、aleph-null）で表す。例えば、N の濃度が可算であることを ${\displaystyle |\mathbb {N} |=\aleph _{0}}$ などと表す。

無限集合においては、その真部分集合と濃度が等しいことがあり得る。[3]例えば、偶数の自然数全体の集合 2N は N との間に次の全単射が存在する。

${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \ni n\mapsto 2n\in 2\mathbb {N} .}$

よって、2N は可算集合である。また、整数全体の集合 Z や有理数全体の集合 Q も可算である[1][4]。しかし、実数全体の集合 R は非可算である。この事実はカントールの対角線論法によって示される[1][4]。R の濃度は連続体濃度と呼ばれ、${\displaystyle \aleph }$ または ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ で表される。

選択公理を認めるならば、可算濃度は無限集合の濃度のうち最小のものであることが示される。可算濃度と連続体濃度の間に他の濃度が存在するか否かは、ZFC とは独立であり、通常は存在しないと仮定する。この仮定を連続体仮説という。

可算個の可算集合の和集合や、有限個の可算集合の直積集合はまた可算である[3]。これより、代数的数全体の集合 Q は可算であることが従う。しかし、可算個の可算集合の直積集合や、可算集合の冪集合は非可算であり、その濃度は連続体濃度である[4]。

可算個の可算集合の直積集合の濃度は、濃度不等式

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq \aleph _{0}^{\aleph _{0}}\leq (2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}$

によって、${\displaystyle \aleph }$　と等しいことが示される。

• 濃度 (数学)
• 連続体仮説
• ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス

集合論
基本	集合 元 包含関係 内包と外延 クラス ベン図
演算	和集合 非交和 共通部分 素集合 直積集合 分割 補集合 差集合 対称差 冪集合 ド・モルガンの法則 集合の代数学
関係	性質 反射関係 推移関係 推移閉包 対称関係 非対称関係 反対称関係 完全関係 同値関係 同値類 well-defined 整礎関係 逆関係 関係の合成 写像 定義域 終域 値域 単射 全射 全単射 逆写像 像と逆像 恒等写像 制限 包含写像 合成 射影 商写像 指示関数 配置集合 族 添字集合 順序対 順序組 列 集合族 グラフ 部分写像 対応 順序 前順序 有向 半順序 全順序 整列 稠密 有界 単調写像 順序同型 辞書式順序 順序型 推移的集合 順序数 0 後続 極限 自然数 ハッセ図 超限帰納法 ツォルンの補題 整列可能定理 整礎的集合 フォン・ノイマン宇宙
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研究者	ゲオルク・カントール リヒャルト・デーデキント バートランド・ラッセル エルンスト・ツェルメロ アドルフ・フレンケル ジョン・フォン・ノイマン クルト・ゲーデル ポール・コーエン
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