ハイネの和公式

ガウスの超幾何級数

${\displaystyle _{2}F_{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}\;n!}}z^{n}}$

に対し、その q-類似は

${\displaystyle _{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}(b;q)_{n}}{(q;q)_{n}(c;q)_{n}}}z^{n}}$

で定義される。但し、ポッホハマー記号

${\displaystyle (a)_{n}=a(a+1)\cdots (a+n-1)}$

と q-ポッホハマー記号

${\displaystyle (a;q)_{n}={\begin{cases}(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})&(n>0)\\1&(n=0)\end{cases}}}$

を用いた。 このとき、次の関係式をハイネの和公式と呼ぶ。

${\displaystyle _{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,{\frac {c}{ab}}\right]={\frac {\left({\frac {c}{a}};q\right)_{\infty }\left({\frac {c}{b}};q\right)_{\infty }}{\left(c;q\right)_{\infty }\left({\frac {c}{ab}};q\right)_{\infty }}}\qquad {\biggl (}{\bigl |}{\frac {c}{ab}}{\bigr |}<1{\biggr )}}$

これはガウスの超幾何定理

${\displaystyle _{2}F_{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};1\right]={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}\qquad (\Re {a}+\Re {b}<\Re {c},c\not \in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} )}$

の q-類似となっている。

ハイネの和公式は、次のハイネの変換式(Heine's transformation)から導くことができる。

${\displaystyle _{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,z\right]={\frac {(b;q)_{\infty }(az;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }(z;q)_{\infty }}}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{b}},z\\az\end{matrix}};q,b\right]}$

ハイネの変換式はq二項定理から導かれる。

${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,z\right]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}(b;q)_{n}}{(q;q)_{n}(c;q)_{n}}}z^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}(b;q)_{\infty }(cq^{n};q)_{\infty }}{(q;q)_{n}(c;q)_{\infty }(bq^{n};q)_{\infty }}}z^{n}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\left({\frac {(cq^{n};q)_{\infty }}{(bq^{n};q)_{\infty }}}\right)z^{n}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\left(\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{m}}{(q;q)_{m}}}(bq^{n})^{m}\right)z^{n}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{m}}{(q;q)_{m}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(zq^{m})^{n}\right)b^{m}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{m}}{(q;q)_{m}}}\left({\frac {(azq^{m};q)_{\infty }}{(zq^{m};q)_{\infty }}}\right)b^{n}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{m}(z;q)_{m}(az;q)_{\infty }}{(q;q)_{m}(az;q)_{m}(z;q)_{\infty }}}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }(az;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }(z;q)_{\infty }}}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{b}},z\\az\end{matrix}};q,b\right]\\\end{aligned}}}$

ハイネの和公式はハイネの変換式に${\displaystyle z={\tfrac {c}{ab}}}$を代入することにより得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,{\frac {c}{ab}}\right]&={\frac {(b;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{b}},{\frac {c}{ab}}\\{\frac {c}{b}}\end{matrix}};q,b\right]\\&={\frac {(b;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{n}({\frac {c}{ab}};q)_{n}}{(q;q)_{n}({\frac {c}{b}};q)_{n}}}b^{n}\right)\\&={\frac {(b;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{ab}};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}b^{n}\right)\\&={\frac {(b;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}\left({\frac {({\frac {c}{a}};q)_{\infty }}{(b;q)_{\infty }}}\right)\\&={\frac {({\frac {c}{a}};q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}$

1. Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function
2. G. E. Andrews (1986), chapter 2