パーフェクトイド空間

任意のパーフェクトイド体 K に対して、チルト（tilt）と呼ばれる有限な標数 p のパーフェクトイド体 K^♭ が定まる。集合としては、これは次の式

${\displaystyle K^{\flat }=\varprojlim _{x\mapsto x^{p}}K}$

で定義される。つまり、K の元の無限列 (x₀, x₁, x₂, ...) であって x_i = xp
i+1 を満たすもの全体が K^♭ である。K^♭ の乗法は項別に定義されるが、加法の定義の仕方は複雑である。K の標数が有限であれば K ≅ K^♭ が成り立つ。K が ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(p^{1/p^{\infty }})}$ の p 進完備化であれば、K^♭ は ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))(t^{1/p^{\infty }})}$ の t 進完備化である。

パーフェクトイド体 K 上のパーフェクトイド代数やパーフェクトイド空間とは、おおまかにいって体上の代数やスキームの類似物である。チルトを取る操作はこれらにも拡張される。パーフェクトイド体 K 上のパーフェクトイド空間 X に対して、K^♭ 上のパーフェクトイド空間 X^♭ を定めることができる。傾同値（tilting equivalence）とは、チルトを取る関手 (-)^♭ は K 上のパーフェクトイド空間の圏と K^♭ 上のパーフェクトイド空間の圏の間の圏同値を誘導するという定理である。同型ではないパーフェクトイド体がチルトを取ると同型な有限標数のパーフェクトイド体になることがある。その場合、それらの上のパーフェクトイド空間の圏は同値になることもこの定理は意味している。

• 完全体

• 今井直毅「Peter Scholze氏の業績」『数学』第72巻第1号、2020年、36–42頁、doi:10.11429/sugaku.0721036。

• “What is a ... Perfectoid Space?”. Bulletin of the AMS. 2020年1月2日閲覧。
• “What are "perfectoid spaces"?”. MathOverflow. 2021年11月24日閲覧。
• Foundations of Perfectoid Spaces by Matthew Morrow
• Lean perfectoid spaces. Lean定理証明支援系でのパーフェクトイド空間の形式化された定義。