ヘーグナー数

n = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの素数生成多項式

${\displaystyle n^{2}-n+41}$

は、ヘーグナー数 163 = 4・41 − 1 と対応している。

オイラーの式において ${\displaystyle n}$ が 1, ..., 40 の値をとるとすると、 ${\displaystyle n}$ が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。

${\displaystyle n^{2}+n+41}$

ラビノヴィッチ [3]は

${\displaystyle n^{2}+n+p\,}$

について、判別式 ${\displaystyle 1-4p}$ が負のヘーグナー数の場合、またそのときに限り、${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$ に対して素数を与えることを証明した。

（なお ${\displaystyle p-1}$ を代入すると ${\displaystyle p^{2}}$ となるため、${\displaystyle p-2}$ が n の最大値となる。）

${\displaystyle 4p-1=1,2,3}$ を満たす p が存在しないため、機能するヘーグナー数は ${\displaystyle 7,11,19,43,67,163}$ であり、これらはオイラーの形の素数生成式における ${\displaystyle p=2,3,5,11,17,41}$ にそれぞれ対応する。特にこれらの p は、リヨネによってオイラーの幸運数と呼ばれている[4]。

ラマヌジャンの定数とは超越数[5] ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$ のことであり、整数に非常に近いという点でほとんど整数である。

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots }$ [6] ${\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744.}$

この数は、1859年に数学者シャルル・エルミートによって発見された[7]。サイエンティフィック・アメリカン誌の1975年エイプリルフールの記事[8] 「数学的ゲーム」のコラムニストであるマーティン・ガードナーは、「その数は実際に整数であり、インドの天才数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予測していた」という話をでっち上げたことから、この名前がついた。

この偶然性は、 虚数乗法とj-不変量のq-展開によって説明できる。

1987年、チュドノフスキー兄弟は以下の式を発見した。

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}}}$

これは、 ${\displaystyle j\left({\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}}$ という事実を用いている。同様の式については、ラマヌジャン・佐藤級数を参照せよ。

大きい方から4つのヘーグナー数について、以下の近似が得られる[9] 。

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$

あるいは、 [10]

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$

ここで2乗の理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。${\displaystyle d<19}$ のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、 ${\displaystyle d=19}$ さえ注目に値しない[11]。整数の j-不変量は細かく因数分解可能であるが、これは ${\displaystyle 12^{3}(n^{2}-1)^{3}=(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1))^{3}}$ ということに従う。素因数は以下のとおりである。

${\displaystyle {\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5\,280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640\,320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}.\end{aligned}}}$

これらの超越数は、（単に次数 1 の代数的数である）整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる[12]。

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;\ \ \qquad \qquad \qquad x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;\qquad \qquad \quad x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,001\,9;\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}}$

3次式の根は、24番目の根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 η(τ)の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる[13]。

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2(1-960/24+7{\sqrt {3\cdot 43}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2(1-5\,280/24+31{\sqrt {3\cdot 67}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2(1-640\,320/24+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}}$

括弧内の式を ${\displaystyle x}$ とおくと（例： ${\displaystyle x=3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}}$ ）、${\displaystyle x}$ はそれぞれ四次方程式を満たす。

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{4}-4\cdot 3x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}\qquad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 9x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}\ \ \quad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 21x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}\quad \ \;-{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3=0\\\end{aligned}}}$

整数 ${\displaystyle n=3,9,21,231}$ の再出現と、以下の事実に注意せよ。

${\displaystyle {\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-(1-96/24)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19)=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-960/24)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43)=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-5\,280/24)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67)=5\,280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-640\,320/24)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163)=640\,320^{2}\end{aligned}}}$

これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。

同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$

ここで、x はそれぞれ六次式の適切な根によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5\,280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}}$

ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$[14] の上で2つの三次式に因数分解される（最初の因数はさらに2つの二次式に分解できる）ので、冪根によって解ける。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で正確に表現できる。例として、 ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2}$ とすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$

ここで、イータ商は上記の代数的数である。

類数 ${\displaystyle 2}$ を持つ虚二次体 ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]}$ を与える3つの数字 ${\displaystyle 88,148,232}$ は、ヘーグナー数とは見なされないが、 ほとんど整数という点で同様の特性を有する。たとえば、

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744\approx \quad \quad 2\,508\,952^{2}&-.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744\approx \quad 199\,148\,648^{2}&-.000\,97\dots \\\ e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744\approx 24\,591\,257\,752^{2}&-.000\,0078\dots \\\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx (6+4{\sqrt {2}})^{6}\quad +.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}{\color {red}+}\,24&\approx (12+2{\sqrt {37}})^{6}-.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx (27+5{\sqrt {29}})^{6}-.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}}$

p を奇素数として、${\displaystyle k=0,1,\dots ,(p-1)/2}$ に対して ${\displaystyle k^{2}{\pmod {p}}}$ を計算すると（${\displaystyle (p-k)^{2}\equiv k^{2}{\pmod {p}}}$ なので、k の範囲はこれで十分である）、 p がヘーグナー数である場合、またそのときに限り、連続する素数のに続いて連続する合成数が得られる[15]。

詳細については、リチャード・モリン(Richard Mollin)の "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" を参照せよ[16]。

1. Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. Springer. p. 224. ISBN 0-387-97993-X. https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/224
2. Stark, H. M. (1969), “On the gap in the theorem of Heegner”, Journal of Number Theory 1: 16–27, doi:10.1016/0022-314X(69)90023-7, http://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/33039/1/0000425.pdf
3. Rabinovitch, Georg "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern."
4. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables.
5. Weisstein, Eric W. "Transcendental Number". mathworld.wolfram.com (英語).
6. Ramanujan Constant – from Wolfram MathWorld
7. Barrow, John D (2002). The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. ISBN 0-224-06135-6
8. Gardner, Martin (April 1975). “Mathematical Games”. Scientific American (Scientific American, Inc) 232 (4): 127.
9. これらは計算機で ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{e^{\pi {\sqrt {d}}}-744}}}$ 計算することで確かめられ、誤差の線形項は ${\displaystyle 196\,884/e^{\pi {\sqrt {d}}}}$ で確認できる。
10. https://groups.google.com/g/sci.math.research/c/PSQTfJqGCJM?hl=en
11. 実数乱数の絶対偏差（たとえば [0,1] 区間の一様乱数）は [0, 0.5] の一様乱数となり、絶対平均偏差と中央絶対偏差は0.25となるため、偏差0.22はほぼ整数とみなすには大きすぎる。
12. “Pi Formulas”. 2020年6月閲覧。
13. “Extending Ramanujan's Dedekind Eta Quotients”. 2020年6月閲覧。
14. 訳註：原文では ${\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}}$
15. http://www.mathpages.com/home/kmath263.htm
16. Mollin, R. A. (1996). “Quadratic polynomials producing consecutive, distinct primes and class groups of complex quadratic fields”. Acta Arithmetica 74: 17–30. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa74/aa7412.pdf.

• Weisstein, Eric W. "Heegner Number". mathworld.wolfram.com (英語).
• OEIS sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization)
• Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: 問題の詳細な歴史
• Clark, Alex. “163 and Ramanujan Constant”. Numberphile. Brady Haran. 2013年5月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年4月2日閲覧。