六次方程式

一般に一変数の六次方程式は

${\displaystyle a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{6}\neq 0)}$

の形で表現される。

五次以上の一般の方程式に対する代数的解法は存在しない。すなわち、一般の五次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。これはルフィニ、アーベルらによって示された（アーベル–ルフィニの定理参照）。これは六次方程式にも当てはまるので、一般の六次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。 またガロアによって方程式が代数的に解ける条件が裏付けられている[1]（ガロア理論参照）。

なお、代数的ではないが、楕円関数などを用いた根の公式は存在する。

一部の六次方程式は、カンペドフェリエの超幾何関数（2変数の一般化された超幾何関数）で解くことができる[2]。

6次対称群の部分群のうち，可移である15個の共役類について，交換子群の列を示す[4][5]。この内12個が可解群である。

• S₆ 6次対称群（位数 720）${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{6}}$
• A₆ 6次交代群（位数 360） ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{6}}$
• 正規化群 ${\displaystyle N_{{\mathfrak {S}}_{6}}(S_{3})}$
• C₆ 6次巡回群

など

6次対称群の部分群[6]

• Coble, A. B. "The Reduction of the Sextic Equation to the Valentiner Form--Problem." Math. Ann. 70, 337-350, 1911a.
• Coble, A. B. "An Application of Moore's Cross-Ratio Group to the Solution of the Sextic Equation." Trans. Amer. Math. Soc. 12, 311-325, 1911b.
• Cole, F. N. "A Contribution to the Theory of the General Equation of the Sixth Degree." Amer. J. Math. 8, 265-286, 1886.
• Y. Mochimaru, New way for a two-parameter canonical form of sextic equations and its Solvable cases, Int. J. Pure and Applied Math., 18 (2005), 215-224.
• Mochimaru, Yoshihiro. SOLUTION OF SEXTIC EQUATIONS. International Journal of Pure and Applied Mathematics - Volume. 23 (2005), 575-583.

• カンペドフェリエの超幾何関数 - マリー＝ジョゼフ・カンペ・ド・フェリエ（Marie-Joseph Kampé de Fériet）により導入された。
• ヴァレンティナー群

• Sextic Equation -- from Wolfram MathWorld
• Resolution of degree ≤ 6 algebraic equations by genus two theta constants

多項式
元数	多変数
次数	多項式 零多項式 定数多項式 斉次多項式 函数 次数不確定 (or −∞)（零函数） 零次（非零定数函数） 一次 二次 三次 四次 五次 方程式 一次 二次 三次 四次 五次 六次 七次 八次
項数	零項 定数項 単項 二項 三項 無限変数 座標に依らない記述
係数条件	容量 1（原始的） 主係数 1（モニック）
アルゴリズム	因数分解 最大公約式 除法 ホーナー法 終結式 判別式 グレブナー基底
関連項目	代数方程式 多項式の根 重根 (多項式) 根と係数の関係 剰余の定理 因数定理 多項式の展開 多項定理 二項定理 整式 解の公式 二次方程式の解の公式 陰計算
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