ベクトル解析の公式の一覧

ベクトル解析の公式の一覧（ベクトルかいせきのこうしきのいちらん）では、3次元空間におけるベクトル解析の公式の一覧を与える。

内積と外積

ここで $\mathbf {A}$ , $\mathbf {B}$ , $\mathbf {C}$ は任意のベクトルである。また重複添え字については和を取る（アインシュタインの縮約記法）。 $\epsilon _{ijk}$ はレヴィ＝チヴィタ記号、 $\theta$ は $\mathbf {A}$ , $\mathbf {B}$ がなす角である。

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{i}B_{i}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}=|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A}

\mathbf {A} \times \mathbf {B} =(\epsilon _{ijk}A_{j}B_{k})\mathbf {e} _{i}=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})\mathbf {e} _{x}+(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})\mathbf {e} _{y}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})\mathbf {e} _{z}

\mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A}

|\mathbf {A} \times \mathbf {B} |=|\mathbf {A} |\mathbf {B} |\sin \theta

スカラー三重積[2][3]

\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )

ベクトル三重積[4][3]

\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C}

ヤコビ恒等式[3]

\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0

(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )

(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=[\mathbf {A} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )]\mathbf {B} -[\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )]\mathbf {A}

微分公式

ここで $\mathbf {A}$ , $\mathbf {B}$ は任意のベクトル場, $f$ は任意のスカラー場である。[3]

\mathbf {\nabla } \cdot (f\mathbf {A} )=\mathbf {\nabla } f\cdot \mathbf {A} +f\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A}

\mathbf {\nabla } (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A} +(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} +\mathbf {A} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )

\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )

\mathbf {\nabla } \times (f\mathbf {A} )=\mathbf {\nabla } f\times \mathbf {A} +f\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}

\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} +\mathbf {A} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} )

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {\nabla } f=0

\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )=0

\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} )-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A}

ヘルムホルツ分解[3]

\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } f+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}

積分公式

ここで $\mathbf {A}$ , $\mathbf {B}$ , $\mathbf {C}$ は任意のベクトル場, $f$ , $g$ は任意のスカラー場である。また, $V$ は空間領域, $\partial V$ はその境界, $S$ は面, $\mathbf {n}$ はその法線ベクトル ( $S=\partial V$ の場合 $\mathbf {n}$ は外向きに取る), $d\mathbf {S} =\mathbf {n} dS$ は面要素ベクトルである。閉曲線 $\partial S$ に関する線積分 $d\mathbf {r}$ は法線 $\mathbf {n}$ に対応する向きとする。

ガウスの発散定理および関連する公式[3]（最後の等式はグリーンの定理である）

\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \,dV=\oint _{\partial V}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S}

\int _{V}\mathbf {\nabla } f\,dV=\oint _{\partial V}f\,d\mathbf {S}

\int _{V}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} \,dV=\oint _{\partial V}d\mathbf {S} \times \mathbf {A}

\int _{V}(f\mathbf {\nabla } ^{2}g-g\mathbf {\nabla } ^{2}f)dV=\oint _{\partial V}(f\mathbf {\nabla } g-g\mathbf {\nabla } f)\cdot d\mathbf {S}

ストークスの定理および関連する公式[3]

\int _{S}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}

\int _{S}d\mathbf {S} \times \mathbf {\nabla } f=\oint _{\partial S}fd\mathbf {r}

\int _{S}(d\mathbf {S} \times \mathbf {\nabla } )\times \mathbf {A} =\oint _{\partial S}d\mathbf {r} \times \mathbf {A}

曲線座標

曲線座標における勾配、発散、回転、ラプラシアン、物質微分の公式。

円柱座標

円柱座標 $(r,\theta ,z)$ と直交座標 $(x,y,z)$ の変換[5]

\left\{{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \\z=z\end{array}}\right.\ \ \ \ \left\{{\begin{array}{l}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}\\z=z\end{array}}\right.

単位基底ベクトル[5]

\mathbf {e} _{r}=\cos \theta \mathbf {e} _{x}+\sin \theta \mathbf {e} _{y}

\mathbf {e} _{\theta }=-\sin \theta \mathbf {e} _{x}+\cos \theta \mathbf {e} _{y}

\mathbf {e} _{z}=\mathbf {e} _{z}

計量[6]

ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+dz^{2}

体積要素[6]

dV=r\,dr\,d\theta \,dz

勾配[6]

\mathbf {\nabla } f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}

発散[6]

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{r})+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}

回転[6]

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} =\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{r}+\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial r}}\right)\mathbf {e} _{\theta }+\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\theta })-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]\mathbf {e} _{z}

ラプラシアン (スカラー場)[6]

\mathbf {\nabla } ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}

ラプラシアン (ベクトル場)[6]

[\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} ]_{r}=\mathbf {\nabla } ^{2}A_{r}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}-{\frac {A_{r}}{r^{2}}}

[\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} ]_{\theta }=\mathbf {\nabla } ^{2}A_{\theta }+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {A_{\theta }}{r^{2}}}

[\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} ]_{z}=\mathbf {\nabla } ^{2}A_{z}

物質微分[7]

[(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} ]_{r}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )B_{r}-{\frac {A_{\theta }B_{\theta }}{r}}

[(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} ]_{\theta }=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )B_{\theta }+{\frac {A_{\theta }B_{r}}{r}}

[(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} ]_{z}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )B_{z}

球座標

球座標 $(r,\theta ,\phi )$ と直交座標 $(x,y,z)$ の変換[5]

\left\{{\begin{array}{l}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{array}}\right.\ \ \ \ \left\{{\begin{array}{l}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta =\cos ^{-1}{\frac {z}{r}}\\\phi =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}\end{array}}\right.

単位基底ベクトル[5]

\mathbf {e} _{r}=\sin \theta \cos \phi \mathbf {e} _{x}+\sin \theta \sin \phi \mathbf {e} _{y}+\cos \theta \mathbf {e} _{z}

\mathbf {e} _{\theta }=\cos \theta \cos \phi \mathbf {e} _{x}+\cos \theta \sin \phi \mathbf {e} _{y}-\sin \theta \mathbf {e} _{z}

\mathbf {e} _{\phi }=-\sin \phi \mathbf {e} _{x}+\cos \phi \mathbf {e} _{y}

計量[8]

ds^{2}=dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})

体積要素[8]

dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi

勾配[8]

\mathbf {\nabla } f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }

発散[8]

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}A_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}

回転[8]

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\phi })-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }}\right]\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\phi })\right]\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\theta })-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]\mathbf {e} _{\phi }

ラプラシアン (スカラー場)[8]

\mathbf {\nabla } ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}

ラプラシアン (ベクトル場)[9]

[\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} ]_{r}=\mathbf {\nabla } ^{2}A_{r}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}-{\frac {2A_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2\cot \theta A_{\theta }}{r^{2}}}

[\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} ]_{\theta }=\mathbf {\nabla } ^{2}A_{\theta }+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {2\cot \theta }{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}-{\frac {A_{\theta }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}

[\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} ]_{\phi }=\mathbf {\nabla } ^{2}A_{\phi }+{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {2\cot \theta }{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }}-{\frac {A_{\phi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}

物質微分[7]

[(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} ]_{r}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )B_{r}-{\frac {A_{\theta }B_{\theta }+A_{\phi }B_{\phi }}{r}}

[(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} ]_{\theta }=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )B_{\theta }+{\frac {A_{\theta }B_{r}}{r}}-{\frac {A_{\phi }B_{\phi }\cot \theta }{r}}

[(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} ]_{\phi }=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )B_{z}+{\frac {A_{\phi }B_{r}}{r}}+{\frac {A_{\phi }B_{\theta }\cot \theta }{r}}

直交曲線座標

3次元ユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{3}$ の曲線座標 $x^{i}$ について、その座標系で計量が

ds^{2}=\sum _{i=1}^{3}h_{i}(x)^{2}(dx^{i})^{2}

という対角形になるとき、これを直交曲線座標と呼ぶ[10]。この座標系に付随する規格化された基底ベクトルを $\mathbf {e} _{i}$ とする。

体積要素[11]

dV=hdx^{1}dx^{2}dx^{3},\ \ h=h_{1}h_{2}h_{3}

勾配[11]

\mathbf {\nabla } f=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{i}

発散[11]

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {h}{h_{i}}}A_{i}\right)

回転[11]

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {e} _{i}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\frac {h_{i}}{h}}{\frac {\partial (h_{k}A_{k})}{\partial x^{j}}}

ラプラシアン (スカラー場)[11]

\mathbf {\nabla } ^{2}f=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {h}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\right)

物質微分[7]

[(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} ]_{i}=\sum _{k=1}^{3}\left[{\frac {A_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial B_{i}}{\partial x_{k}}}+\left(A_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial x_{k}}}-A_{k}{\frac {\partial h_{k}}{\partial x_{i}}}\right){\frac {B_{k}}{h_{k}h_{i}}}\right]

脚注

“ベクトル・テンソル解析”. 2020年11月27日閲覧。
Richard Fitzpatrick. “Scalar Triple Product”. 2020年11月27日閲覧。
“電磁気学に用いるベクトル公式集”. 2020年11月27日閲覧。
Richard Fitzpatrick. “Vector Triple Product”. 2020年11月27日閲覧。
“座標系・ベクトルの復習”. 2020年11月27日閲覧。
Richard Fitzpatrick. “Cylindrical Coordinates”. 2020年11月27日閲覧。
“Convective Operator”. Wolfram MathWorld. 2021年4月21日閲覧。
Richard Fitzpatrick. “Spherical Coordinates”. 2020年11月27日閲覧。
“Vector differential operators”. p. 252. 2021年4月21日閲覧。
河合佑太. “物理数学補足ノート(直交曲線座標)”. 2020年11月27日閲覧。
Richard Fitzpatrick. “Orthogonal Curvilinear Coordinates”. 2020年11月27日閲覧。

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