モーリーの定理

ここでは、三角関数を利用した証明を挙げる。

a, b, c を以下のように定義する。

• ${\displaystyle \angle {\text{BAC}}=3a^{\circ }}$
• ${\displaystyle \angle {\text{ABC}}=3b^{\circ }}$
• ${\displaystyle \angle {\text{ACB}}=3c^{\circ }}$

${\displaystyle \angle {\text{BAC}}+\angle {\text{ABC}}+\angle {\text{ACB}}=180^{\circ }}$

なので

${\displaystyle a^{\circ }+b^{\circ }+c^{\circ }=60^{\circ }}$

計算を簡単にするために外接円の半径を 1 とすると、3辺の長さは

• ${\displaystyle {\text{AB}}=2\sin 3c^{\circ }}$
• ${\displaystyle {\text{BC}}=2\sin 3a^{\circ }}$
• ${\displaystyle {\text{CA}}=2\sin 3b^{\circ }}$

となる。

△BPC に正弦定理を適用すると、

${\displaystyle {\frac {\text{BP}}{\sin c^{\circ }}}={\frac {\text{BC}}{\sin(180^{\circ }-b^{\circ }-c^{\circ })}}={\frac {2\sin 3a^{\circ }}{\sin(b^{\circ }+c^{\circ })}}={\frac {2\sin 3a^{\circ }}{\sin(60^{\circ }-a^{\circ })}}}$

${\displaystyle {\text{BP}}={\frac {2\sin 3a^{\circ }\sin c^{\circ }}{\sin(60^{\circ }-a^{\circ })}}}$

sin 3a° を以下のように変形する。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 3a^{\circ }&=3\sin a^{\circ }-4\sin ^{3}a^{\circ }\\&=4\sin a^{\circ }\left\{\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}-\sin ^{2}a^{\circ }\right\}\\&=4\sin a^{\circ }(\sin ^{2}60^{\circ }-\sin ^{2}a^{\circ })\\&=4\sin a^{\circ }(\sin 60^{\circ }+\sin a^{\circ })(\sin 60^{\circ }-\sin a^{\circ })\\&=4\sin a^{\circ }\times 2\sin {\frac {60^{\circ }+a^{\circ }}{2}}\cos {\frac {60^{\circ }-a^{\circ }}{2}}\times 2\sin {\frac {60^{\circ }-a^{\circ }}{2}}\cos {\frac {60^{\circ }+a^{\circ }}{2}}\\&=4\sin a^{\circ }\sin(60^{\circ }+a^{\circ })\sin(60^{\circ }-a^{\circ })\end{aligned}}}$

この式を上の BP の式に代入すると

${\displaystyle {\text{BP}}=8\sin a^{\circ }\sin c^{\circ }\sin(60^{\circ }+a^{\circ })}$

となる。同様に、

${\displaystyle {\text{BR}}=8\sin a^{\circ }\sin c^{\circ }\sin(60^{\circ }+c^{\circ })}$

△BPR に余弦定理を適用すると

${\displaystyle {\text{PR}}^{2}={\text{BP}}^{2}+{\text{BR}}^{2}-2{\text{BP}}\times {\text{BR}}\cos b^{\circ }}$

この式に上で得た BP, BR の値を代入すると

${\displaystyle {\text{PR}}^{2}=64\sin ^{2}a^{\circ }\sin ^{2}c^{\circ }\{\sin ^{2}(60^{\circ }+a^{\circ })+\sin ^{2}(60^{\circ }+c^{\circ })-2\sin(60^{\circ }+a^{\circ })\sin(60^{\circ }+c^{\circ })\cos b^{\circ }\}}$

ここで (60°+ a°) + (60°+ c°) + b°= 120°+ (a°+ b°+ c°) = 180°である。内角が 60°+ a°, 60°+ c°, b°の三角形に正弦定理と余弦定理を適用すると、

${\displaystyle \sin ^{2}b^{\circ }=\sin ^{2}(60^{\circ }+a^{\circ })+\sin ^{2}(60^{\circ }+c^{\circ })-2\sin(60^{\circ }+a^{\circ })\sin(60^{\circ }+c^{\circ })\cos b^{\circ }}$

${\displaystyle \therefore {\text{PR}}=8\sin a^{\circ }\sin b^{\circ }\sin c^{\circ }}$

同様に

${\displaystyle {\text{PQ}}=8\sin b^{\circ }\sin a^{\circ }\sin c^{\circ }}$

${\displaystyle {\text{QR}}=8\sin a^{\circ }\sin c^{\circ }\sin b^{\circ }}$

これより

${\displaystyle {\text{PR}}={\text{PQ}}={\text{QR}}}$

となり、3辺が等しいことが示された。