ラマヌジャンの和公式

ラマヌジャンの和公式はq二項定理から導かれる。${\displaystyle n}$が負の整数であれば

${\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{\displaystyle \prod _{k=n}^{-1}{\frac {1}{(1-q^{1+k})}}}}=\prod _{k=n}^{-1}(1-q^{1+k})=0\qquad (-n\in \mathbb {N} )}$

であるから、q二項定理は

${\displaystyle {\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}}$

と書ける。${\displaystyle k}$を任意の正の整数として

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n+k}}}z^{n+k}\\&={\frac {(a;q)_{k}}{(q;q)_{k}}}z^{k}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(aq^{k};q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}}}z^{n}\\\end{aligned}}}$

であるから

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(aq^{k};q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}}}z^{n}&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(a;q)_{k}}}z^{-k}\\&={\frac {(az;q)_{k}(aq^{k}z;q)_{\infty }(q;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(a;q)_{k}}}z^{-k}\\&={\frac {(az;q)_{k}(aq^{k}z;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(a;q)_{k}(q^{1+k};q)_{\infty }}}z^{-k}\\&={\frac {(aq^{k}z;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }(aq^{k}q^{-k}z;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }(aq^{k}q^{-k};q)_{k}}}z^{-k}\\\end{aligned}}}$

である。${\displaystyle aq^{k}}$を${\displaystyle a}$と書き、qポッホハマー記号の変換式

${\displaystyle \left(aq^{-n};q\right)_{n}=\left(-{\frac {a}{q}}\right)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left({\frac {q}{a}};q\right)_{n}}$

により

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}}}z^{n}&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }(aq^{-k}z;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }(aq^{-k};q)_{k}}}z^{-k}\\&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{k}}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{k}}}\\&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q^{1+k}}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }\left({\frac {q^{1+k}}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}$

となり、${\displaystyle q^{1+k}}$を${\displaystyle b}$と書き、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {b}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(b;q)_{\infty }\left({\frac {b}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\qquad (b=q^{k},k\in \mathbb {N} )\\\end{aligned}}}$

となる。さて、左辺は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{-n}}{(b;q)_{-n}}}z^{-n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(bq^{-n};q)_{n}}{(aq^{-n};q)_{n}}}z^{-n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {q}{b}};q\right)_{n}}{\left({\frac {q}{a}};q\right)_{n}}}\left({\frac {b}{az}}\right)^{n}\\\end{aligned}}}$

であるから、${\displaystyle |q|<1,|z|<1,|b|<|az|,|b|<1,|a|>|q|}$で収束する。従って、両辺とも${\displaystyle b}$の関数として考えれば${\displaystyle b=0}$で正則であり、${\displaystyle b=q^{k}\to 0}$で両辺が一致するから一致の定理により大局的にも一致する。

1. Kim (2006), Transformations of Ramanujan's Summation Formula and its Application

• ヴィノグラードフの定理