ランダムウォーク

${\displaystyle X_{n}}$ (${\displaystyle n=1,2,\dots }$) を独立かつ同分布な ${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$ 値確率変数族とする。この時、

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$

を（${\displaystyle d}$ 次元）ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。

特に、${\displaystyle X_{n}}$ が ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{d}}$ 値であり、かつ、

${\displaystyle P(X_{n}=\mathbf {e} _{j})=P(X_{n}=-\mathbf {e} _{j})={\frac {1}{2d}}}$

（${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ は、第 ${\displaystyle j}$ 成分が 1 の単位ベクトル）である時、S_n を（${\displaystyle d}$ 次元）単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。

直接的一般化として、結晶格子（結晶構造の抽象化）上のランダムウォークが定式化され、中心極限定理と大偏差の性質が小谷と砂田により証明されている[3][4]。

確率密度関数 ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$ のグラフ

コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右（正の方向）に進め、裏が出た場合に点を左（負の方向）に進める試行（1次元のランダムウォーク）を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合${\displaystyle x}$の分布は、${\displaystyle {\tfrac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は${\displaystyle 1-x}$）。これは${\displaystyle x=0}$および${\displaystyle x=1}$で無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる[5][6]。

1. 再帰性

   1または2次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3次元以上のランダムウォークは非再帰的である。[7][8]

2. Donsker の定理の系

   X_n (n = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、

   ${\displaystyle S_{t}=S_{n}\quad {\mbox{ if }}t=n,\quad {\mbox{ linear }}{\mbox{ if }}n<t<n+1}$

   で定義すると、各 t ≧ 0 に対して次が成立する。

   ${\displaystyle P\left(\left|{\frac {S_{nt}}{\sqrt {n}}}-B_{t}\right|<\varepsilon \right)\rightarrow 0\quad {\mbox{ for all }}\varepsilon >0}$

レビのダスト

宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が冪級数で与えられるようなランダムウォーク。

自己回避ランダムウォーク[9]

軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。高分子の幾何学的構造[10]、海岸線などのモデル（自己相似）として利用されている。

1. ウィーナー過程フィナンシャル・アーティスト・アカデミー株式会社
2. Log normal distributionニューメリカルテクノロジーズ株式会社
3. M. Kotani, T. Sunada (2003). “Spectral geometry of crystal lattices”. Contemporary. Math. 338: 271–305. doi:10.1090/conm/338/06077.
4. M. Kotani, T. Sunada (2006). “Large deviation and the tangent cone at infinity of a crystal lattice”. Math. Z. 254: 837–870. doi:10.1007/s00209-006-0951-9.
5. ランダムウォークに関する話題から ―逆正弦法則について―小杉のぶ子（東京海洋大学 海洋工学部）
6. “つき”の数理-逆正弦法則について大阪大学基礎工学研究科会田研究室
7. ランダムウォーク
8. 電気回路とランダム・ウォーク2002年3月17日 確率統計委員会・深川久（豊中高校）
9. 井上純一 (2004年). “確率モデルを用いたフラクタル図形の作成に関する実験手引書” (pdf). 北海道大学. p. 12. 2020年5月18日閲覧。
10. ランダムウォークと統計力学岡部豊

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