確率過程

まず、時間のように一次元的なパラメタによって変化する確率変数を考えよう。

確率空間 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$・可測空間 (S, Σ)・全順序集合 T が与えられたとする。

時刻 T で添字つけられる状態空間 S に値をとる確率過程 X_t とは

${\displaystyle X\colon \Omega \times T\to S}$

であり、すべての t ∈ T に対してX_t がΩ 上の確率変数となるものである。換言すれば、ある確率空間で定義された確率変数の族

${\displaystyle \{X(\omega ,t)|t\in T\}}$

が確率過程である[4]。

普通、T としては離散時間 T = {1, 2, 3, …} や連続時間 T = [0, ∞) を考え、状態空間 S としてはユークリッド空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ や整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ を考える。

X を S に値をとる確率過程とする。すべての有限列 ${\displaystyle T'=(t_{1},\ldots ,t_{k})\in T^{k}}$ について、k-タプル ${\displaystyle X_{T'}=(X_{t_{1}},X_{t_{2}},\ldots ,X_{t_{k}})}$ は S^k を値にとる確率変数となる。この確率変数の分布 ${\displaystyle \mathbb {P} _{T'}(\cdot )=\mathbb {P} (X_{T'}^{-1}(\cdot ))}$ は S^k 上の確率測度となる。このようにして得られる分布を X の有限次元分布という。

適切な位相的な制約を加えることで、有限次元分布の「一貫した」集まりを得られる。これを用いて、ある種の確率過程を定義することができる。(例えば、コルモゴロフの拡張。）