ルーマー–フィリップスの定理

A を、バナッハ空間 X の線形部分空間 D(A) 上で定義される線形作用素とする。このとき、A が縮小半群を生成するための必要十分条件は

1. D(A) は X において稠密、
2. A は閉、
3. A は消散的、および
4. ある λ₀> 0 に対して A − λ₀I は全射（ただし I は恒等作用素を表す）

である[1]。

• 通常内積を伴う空間 H = L²([0, 1]; R) を考える。Au = u′ とし、その定義域 D(A) は、u(1) = 0 を満たすようなソボレフ空間 H¹([0, 1]; R) の関数 u からなる集合と等しいものとする。D(A) は稠密である。さらに、D(A) に含まれるすべての u に対して

${\displaystyle \langle u,Au\rangle =\int _{0}^{1}u(x)u'(x)\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}u(0)^{2}\leq 0}$

が成立するため、A は消散的である。常微分方程式 u' − λu = f、u(1) = 0 には、L²([0, 1]; R) 内の任意の f に対して、唯一つの解

${\displaystyle u(x)={\rm {e}}^{\lambda x}\int _{x}^{1}{\rm {e}}^{-\lambda t}f(t)\,dt}$

が H¹([0, 1]; R) 内に存在する。したがって、全射の条件も満たされる。以上のことから、上述の回帰的な場合のルーマー–フィリップスの定理により、A は縮小半群を生成することが分かる。

ルーマー–フィリップスの定理を直接的に適用することによって望む結果が得られるような例は、さらに多く存在する。

変換やスケーリング、摂動理論とともに用いられることで、ルーマー–フィリップスの定理は、ある作用素が強連続半群を生成することを示す上での主要な道具となる。そのような例を次に述べる。

• ヒルベルト空間上の正規作用素（共役作用素と可換であるような作用素）が強連続半群を生成するための必要十分条件は、そのスペクトルが上に有界であることである[5]。

• Lumer, Günter and Phillips, R. S. (1961). “Dissipative operators in a Banach space”. Pacific J. Math. 11: 679–698. ISSN 0030-8730.
• Renardy, Michael and Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 356. ISBN 0-387-00444-0
• Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000), One-parameter semigroups for linear evolution equations, Springer
• Arendt, Wolfgang; Batty, Charles; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2001), Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Well-posed linear systems, Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer