レピュニット

m が n を割り切るならば、R_m は R_n を割り切る。よって、n が合成数ならば、R_n は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるため、すべてズッカーマン数である。

R_n は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 3⁰ のときも含む）は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数

• 偶数 - 11
  • 4の倍数 - 11 · 101
  • 6の倍数 - 3・7・11・13・37
• 3の倍数 - 3 · 37
• 5の倍数 - 41 · 271
• 7の倍数 - 239 · 4649
• 17の倍数 - 2071723 · 5363222357

など

現在、R_n で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R₄₉₀₈₁ は、1999年に H. Dubner が確率的素数として発見してから P. Underwood によって素数判定されるまで23年を要した[12]。

2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し[13]、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している[14]。同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した[15]。

2021年4月20日、S. Batalov と R. Propper は n=5794777 を[16]、同年5月8日に n=8177207 を PRP であると発表した[17]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の PRP であった。

(オンライン整数列大辞典の数列 A004023)

レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている[18]。

基数 10 のレピュニットの R₁ から R₁₂₂ までの素因数分解の一覧を示す[19]。

n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

※ 素因数の数(含重複)

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対してn桁のレピュニットは ${\displaystyle R_{n}(a)={\frac {a^{n}-1}{a-1}}}$と定義される。

前述の通り、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは a^{n − 1} の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R₅(3) = 11², R₄(7) = 20², R₃(18) = 7³ の場合しかない（Bugeaud 1999b[20]）。

F_d(x) を d 次の円分多項式とすると、

${\displaystyle R_{n}(a)=\prod _{d\mid n,\,d>1}F_{d}(a)}$

と表すことができる。

• Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (2nd Revised ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4, https://books.google.com/books?id=NbbbL9gMJ88C
• Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999-04-24), History of the Theory of Numbers, AMS Chelsea Publishing, Volume I (2nd Reprinted ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1934-0, https://books.google.com/books?id=XnwsAQAAIAAJ
• Francis, Richard L. (1988-05), “Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers”, The College Mathematics Journal 19 (3): 240-246
• Ribenboim, Paulo (1996-02-02), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9, https://books.google.com/books?id=2VTSBwAAQBAJ
• Yates, Samuel (1982-05), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8, https://books.google.com/books?id=3_vuAAAAMAAJ

• 一進法
• 回文数
• メルセンヌ数
• ゴールマハティヒ予想
• レピュニット (小惑星) - 小惑星番号が11111であることから命名。
• 37 - 111を3で割った値。
• 259 - 111111を429で割った値。
• 12345679 - 111111111を9で割った値。

• 『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語
• 11...11 (レピュニット) の素因数分解（n = 20万までの一覧）
• Factorizations of Repunit Numbers （n = 14980までの一覧）
• 纯元数的实验与探究
• collection de nombres, rep-unit
• Weisstein, Eric W. "Repunit". mathworld.wolfram.com (英語).