ヴァン・ラモン円

ユークリッド幾何学において、ヴァン・ラモン円（ヴァン・ラモンえん、英:van Lamoen circle）またはヴァン・ラモーエン円、ヴァン・ラムーン円は、三角形に対して定義される円の一つである[1]。

ヴァン・ラモン円、6つの円の中心

A_{b}

,

A_{c}

,

B_{c}

,

B_{a}

,

C_{a}

,

C_{b}

を通る。

$A$ , $B$ , $C$ を三角形の頂点、 $M_{a}$ , $M_{b}$ , $M_{c}$ を $BC$ , $CA$ , $AB$ の中点、 $G$ を重心とする。

6つの円 $AGM_{c}$ , $BGM_{c}$ , $BGM_{a}$ , $CGM_{a}$ , $CGM_{b}$ , $AGM_{b}$ の中心は同一円周上にある。この円を三角形のヴァン・ラモン円と言う。

歴史

ヴァン・ラモン円の名称は2000年にヴァン・ラモン円に関する問題を提起したフロアー・ヴァン・ラモンに由来する[2]。2001年と2002年にそれぞれ、 Kin Y. Liとthe Amer. Math. Monthlyの編集者が、独自に証明した。

性質

ヴァン・ラモン円の中心はクラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」内で、 $X(1153)$ として登録されており、三線座標は以下の式で与えられる[3]。

$f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$

ただし

$f(a,b,c)=bc(13a^{2}(b^{2}+c^{2})+10b^{2}c^{2}-10a^{4}-4b^{4}-4c^{4})$

2003年、Alexey Myakishev とPeter Y. Wooは以下の定理を発表した。

$P$ が垂心か重心であることと、 $P$ のチェバ線を $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ として6つの円 $APB'$ , $APC'$ , $BPC'$ , $BPA'$ , $CPA'$ , $CPB'$ の中心が同一円周上にあることは同値である[4]。

2005年、Nguyen Minh Haはこの定理のより単純な証明を与えた[5]。

関連

参考文献

Weisstein, Eric W.. “van Lamoen Circle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月13日閲覧。
“Concyclic Problems”. Kin Y. Li. 2024年4月13日閲覧。
“ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2 X(1153)”. faculty.evansville.edu. 2024年4月13日閲覧。
“On the Circumcenters of Cevasix Configurations”. Alexei Myakishev and Peter Y. Woo. 2024年4月13日閲覧。
“Another Proof of van Lamoen’s Theorem and Its Converse”. Nguyen Minh Ha. 2024年4月13日閲覧。

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