一様凸空間

一様凸空間とは、すべての ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ に対して、ある ${\displaystyle \delta >0}$ が存在し、${\displaystyle \|x\|=1}$, ${\displaystyle \|y\|=1}$ を満たす二つの任意のベクトルに対して

${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }$

ならば

${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$

が成立するようなノルムベクトル空間のことをいう。直感的に、単位球の内側の線分の中心が、その線分が短すぎない限り、単位球のより内側に存在することをいう。

• ミルマン＝ペティスの定理によると、すべての一様凸バナッハ空間は回帰的であるが、その逆は真ではない。
• ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ が一様凸バナッハ空間において ${\displaystyle f}$ に弱収束する列で ${\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|}$ を満たすなら、${\displaystyle f_{n}}$ は ${\displaystyle f}$ に強収束する: ${\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0.}$
• バナッハ空間 ${\displaystyle X}$ が一様凸であるための必要十分条件は、その双対 ${\displaystyle X^{*}}$ が一様滑らかであることである。
• すべての一様凸空間は狭義凸である。

• すべてのヒルベルト空間は一様凸である。
• 一様凸バナッハ空間のすべての閉部分空間は一様凸である。
• ハンナーの不等式によると、L^p 空間（${\displaystyle 1<p<\infty }$）は一様凸である。
• ${\displaystyle L^{\infty }}$ は一様凸ではない。

• 凸度と凸特性数
• 凸函数
• 一様に滑らかな空間

• Clarkson, J. A. (1936). “Uniformly convex spaces”. Trans. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society) 40 (3): 396–414. doi:10.2307/1989630. JSTOR 1989630.
• Hanner, O. (1956). “On the uniform convexity of ${\displaystyle L^{p}}$ and ${\displaystyle l^{p}}$”. Ark. Mat. 3: 239–244. doi:10.1007/BF02589410.

• Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introduction to Banach Spaces and their Geometry (Second revised ed.). North-Holland. ISBN 0-444-86416-4
• Per Enflo (1972). “Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm”. Israel Journal of Mathematics 13 (3–4): 281–288. doi:10.1007/BF02762802.
• Lindenstrauss, Joram and Benyamini, Yoav. Geometric nonlinear functional analysis Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.