不完全ガンマ関数

不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,∞]を2つに分けて以下のように定義される。

0以上の実数 x と、 実部が正の複素数 a に対し

第1種不完全ガンマ関数 ${\displaystyle \gamma (a,x)}$

${\displaystyle \gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt\,\!}$

第2種不完全ガンマ関数 ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$

${\displaystyle \Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt\,\!}$

ガンマ関数の定義は

${\displaystyle \Gamma (a)=\int _{0}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt}$

であるから、

${\displaystyle \gamma (a,x)+\Gamma (a,x)=\Gamma (a)}$

となる。

また、不完全ガンマ関数の定義式に部分積分を用いることで

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (a+1,x)&=a\gamma (a,x)-x^{a}e^{-x}\\\Gamma (a+1,x)&=a\Gamma (a,x)+x^{a}e^{-x}\end{aligned}}}$

という関係が成り立つことも分かる。

さらに、以下のような式が成り立つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (a,0)&=\Gamma (a)\\\gamma (a,x)&\to \Gamma (a)\quad (x\to \infty )\\\Gamma (0,x)&=-\operatorname {Ei} (-x)\quad {\text{ for }}x>0\\\Gamma (1/2,x)&={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)\\\gamma (1/2,x)&={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)\\\Gamma (1,x)&=e^{-x}\\\gamma (1,x)&=1-e^{-x}\end{aligned}}}$

ここで、

• Ei : 指数積分
• erf : 誤差関数
• erfc :相補誤差関数で、erfc(x) = 1 − erf(x)

である。

• ${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial x}}=-{\frac {x^{a-1}}{e^{x}}}}$

MeijerのG関数から[1]:

${\displaystyle T(m,a,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\a-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right)}$

${\displaystyle T(m,a,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {{\rm {d}}^{m-2}}{{\rm {d}}t^{m-2}}}\left[\Gamma (a-t)z^{t-1}\right]{\Big |}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{a-1+n}}{n!(-a-n)^{m-1}}}}$ 時 ${\displaystyle |z|<1}$

• ${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial a}}=\ln x\Gamma (a,x)+x\,T(3,a,x)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (a,x)}{\partial a^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (a,x)+2x[\ln x\,T(3,a,x)+T(4,a,x)]}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (a,x)}{\partial a^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (a,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,a,x)}$ と ${\displaystyle P_{j}^{n}=\left({\begin{array}{l}n\\j\end{array}}\right)j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}$

1. K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149-165,

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6.)
• G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
• W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.2.)

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