外周三角形

  元の三角形 △ABC

  点P

  △ABCの外接円と、△ABCの頂点とPを結ぶ直線

  Pの外周三角形 △A'B'C'

△ABCと点Pに対して、AP, BP, CP と△ABCの外接円のA, B, Cでない方の交点をA', B', C'とする。△A'B'C' をPの外周三角形と言う[1]。

例

• 内心の外周三角形は円弧中点三角形である[2][3][4]。
• 重心の外周三角形は外接中点三角形である[5]。
• 垂心の外周三角形は外接垂足三角形である[6]。

a,b,cを△ABCの辺の長さ、 α : β : γ をPの三線座標とすると、Pの外周三角形△A'B'C' の頂点の三線座標は以下の様に与えられる[2]。

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}A'=&-a\beta \gamma &:&(b\gamma +c\beta )\beta &:&(b\gamma +c\beta )\gamma \\B'=&(c\alpha +a\gamma )\alpha &:&-b\gamma \alpha &:&(c\alpha +a\gamma )\gamma \\C'=&(a\beta +b\alpha )\alpha &:&(a\beta +b\alpha )\beta &:&-c\alpha \beta \end{array}}}$$

• 元の三角形の外接円に内接する三角形は、元の三角形の外周三角形のただ一つに合同である[2]。
• 任意の点の垂足三角形と外周三角形は相似である[2]。
• 外周三角形の各頂点から元の三角形の辺に対して下した垂線が一点で交わるような、(つまり外周三角形と元の三角形がOrthologic trianglesであるような)は点Pの軌跡はマッケイ三次曲線と呼ばれる三次曲線を成す[7]。また、マッケイ三次曲線上の点の垂足三角形と外周三角形は相似の位置にあり、その相似の中心の軌跡はルモワーヌ三次曲線と呼ばれる[2]。

• チェバ線
• チェバの定理