チェビアン

幾何学において、チェビアン(英:Cevian)またはチェバ線とは三角形の頂点とその対辺を結ぶ線分の総称である[1][2]。中線や角の二等分線などはチェビアンの特別な場合である。チェビアンに関する有名な定理を発表したジョバンニ・チェバに由来する[3]。

長さ

三角形とそのチェビアン

d

スチュワートの定理

チェビアンの長さ $d$ はスチュワートの定理を用いて次の様に求めることができる。

\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).

中線

チェビアンが中線である場合、中線定理を用いることができる。

\,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})

\,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}

d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.

ただし $\,a=2m.$

角の二等分線

チェビアンが角の二等分線の場合、以下の様に求められる[4]。

\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),

d^{2}+mn=bc

d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}

ただし、sは半周長( $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$ )

頂垂線

チェビアンが頂垂線である場合、以下の様に求められる。

\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}

d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},

比率

3つのチェビアンが共点

図の様に、それぞれの頂点に対するチェビアンが内部の点で交わっているとき、以下の式が成り立つ[5]。

{\begin{aligned}&{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {OD}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}+{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}};\\&\\&{\frac {\overline {OD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {OE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {OF}}{\overline {CF}}}=1;\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BO}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CO}}{\overline {CF}}}=2.\end{aligned}}

最初の式はチェバの定理である。

中界線

周長を二等分するチェビアンは中界線(Splitter)と呼ばれ、ナーゲル点で交わる。

面積の二等分線

面積を二等分するチェビアンは中線で、重心で交わる。

角の三等分線

6本の角の三等分線の辺に対して同じ側にあるもの交点は、モーリーの三角形と呼ばれる正三角形を成す。

チェビアンで分割された三角形の面積

ラウスの定理によって、三角形とチェビアンで作られた三角形との比を決定することができる。

チェバ三角形

$△ ABC$ と点 $P$ について直線 $BC, AP$ の交点を $D$ 、直線 $CA, BP$ の交点を $E$ ,直線 $AB, CP$ の交点を $F$ とする。 $△ DEF$ を $P$ のチェバ三角形(Cevian triangle)という[6][7]。 $P$ の重心座標を $p : q : r$ とし、 $D,E,F$ の重心座標は以下の様に与えられる。

$D=0:q:r,\quad E=p:0:r,\quad F=p:q:0$

例

重心のチェバ三角形は中点三角形
垂心のチェバ三角形は垂足三角形

チェバ円

チェバ三角形の外接円をチェバ円(cevian circle)またはチェビアン円という[8]。

例

重心、垂心のチェバ円は九点円
ジェルゴンヌ点のチェバ円は内接円

チェバ円共役

$△ ABC$ と点 $P$ について、 $P$ のチェバ三角形を $△ DEF$ 、チェバ円を $Γ$ とする。また $Γ$ と $BC,CA,AB$ の、 $D,E,F$ でない方の交点をそれぞれ $A",B",C"$ とする。このとき、3つのチェビアン $AA",BB",CC"$ は一点で交わる。この3つのチェビアンの交点を、チェバ円共役点と言い、 $P$ とそのチェビアン円共役点の関係をチェバ円共役(Cyclocevian conjugate)またはチェビアン円共役という[9][7]。またチェバ円共役点のチェバ三角形をチェバ円三角形(Cyclocevian triangle)と言う。チェバ円共役が成り立つことはテルケムの定理と呼ばれている。

例

ジェルゴンヌ点は自身とチェバ円共役
重心と垂心はチェバ円共役

$P$ の三線座標を $p : q : r$ 、 $a,b,c$ を三角形の辺の長さとし、チェバ円共役点の三線座標は以下の式で与えられる。

{\frac {1}{a(p^{2}q^{2}+p^{2}r^{2}-q^{2}r^{2})+2pqr(ap+bq+cr)\cos A}}:{\frac {1}{b(q^{2}r^{2}+q^{2}p^{2}-r^{2}p^{2})+2pqr(ap+bq+cr)\cos B}}:{\frac {1}{c(r^{2}p^{2}+r^{2}q^{2}-p^{2}q^{2})+2pqr(ap+bq+cr)\cos C}}

反チェバ三角形

$△ ABC$ と点 $P$ について、以下の3つの条件を満たす三角形 $△ A'B'C'$ を $P$ の反チェバ三角形(Anticevian triangle)という[10][7]。

$A'B'C'$ はそれぞれ $AP,BP,CP$ 上にある。
$B'C',C'A',A'B'$ はそれぞれ点 $A,B,C$ を通る。
$△ A'B'C'$ に対する $P$ のチェバ三角形は $△ ABC$ である。

$P$ の三線座標を $p : q : r$ とし、 $A',B',C'$ の三線座標は以下の様に与えられる。

$A'=-p:q:r,\quad B'=p:-q:r,\quad C'=p:q:-r$

例

内心の反チェバ三角形は傍心三角形
重心の反チェバ三角形は反中点三角形
類似重心の反チェバ三角形は外接三角形

チェバ共役

$△ ABC$ と任意の点 $P,Q$ について、 $P$ のチェバ三角形と $Q$ の反チェバ三角形は配景的(英語版)である。この配景の中心を $Q$ の $P$ チェバ共役点といい、 $Q$ と $Q$ の $P$ チェバ円共役点の関係をチェバ共役(Ceva conjugate)という[11][7]。

例

ミッテンプンクトと内心は重心チェバ共役[7]
類似重心と外心は重心チェバ共役

$P$ の三線座標を $p : q : r$ 、 $Q$ の三線座標を $p' : q' : r'$ とすると、 $Q$ の $P$ チェバ共役点の三線座標は以下の式で与えられる。

$p'(-{\frac {p'}{p}}+{\frac {q'}{q}}+{\frac {r'}{r}}):q'(-{\frac {q'}{q}}+{\frac {r'}{r}}+{\frac {p'}{p}}):r'(-{\frac {r'}{r}}+{\frac {p'}{p}}+{\frac {q'}{q}})$

このように3つの三角形 $D,E,F$ について、 $D$ が $E$ の、 $E$ が $F$ のチェビアン三角形になっていることをチェバ線の入れ子(Cevian nest)と言う[12]。チェバ線の入れ子の2組が配景的であるとき、残り1組も配景的である[7][13]。

チェバ点

$△ ABC$ と任意の点 $P,Q$ について、 $Q$ の反チェバ三角形を $△ A"B"C"$ 、 $BC,A"P$ の交点を $A'$ とする。 $B',C'$ も同様に定義する。 $△ ABC$ と $△ A'B'C'$ は配景的であり、配景の中心を $P,Q$ のチェバ点(cevapoint)という[7][14]。このとき $P$ は $Q$ の $P,Q$ のチェバ点チェバ共役、 $Q$ は $P$ の $P,Q$ のチェバ点チェバ共役と言うことができる。

$P$ の三線座標を $p : q : r$ 、 $Q$ の三線座標を $p' : q' : r'$ とすると、 $P,Q$ のチェバ点の三線座標は以下の式で与えられる。

$(pq'+qp')(pr'+rp'):(qr'+rq')(qp'+pq'):(rp'+pr')(rq'+qr')$

出典

Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). Geometry Revisited. Washington, DC: Mathematical Association of America. p. 4. ISBN 0-883-85619-0
Some authors exclude the other two sides of the triangle, see Eves (1963, p.77)
Lightner, James E. (1975). “A new look at the 'centers' of a triangle”. The Mathematics Teacher 68 (7): 612–615. JSTOR 27960289.
Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.　
Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publishing Co., second revised edition, 1996
Weisstein, Eric W.. “Cevian Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月21日閲覧。
“ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年3月21日閲覧。
Weisstein, Eric W.. “Cevian Circle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月21日閲覧。
Weisstein, Eric W.. “Cyclocevian Conjugate” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月21日閲覧。
Weisstein, Eric W.. “Anticevian Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月21日閲覧。
Weisstein, Eric W.. “Ceva Conjugate” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月21日閲覧。
『数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何をめぐる船旅』日本評論社、2/15、82頁。
“Cevian nest”. Igor Minevich. 2024年3月23日閲覧。
Weisstein, Eric W.. “Cevapoint” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月21日閲覧。