情報系

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ を確率空間、${\displaystyle I}$ を全順序 ${\displaystyle \leq }$ を備えた添字集合とする（${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, または${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ の部分集合であることが多い）。

任意の ${\displaystyle i\in I}$ について ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ は ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ の部分 σ-加法族とする。このとき

${\displaystyle \mathbb {F}$ :=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}

は、任意の${\displaystyle k\leq \ell }$ に対し ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }\subseteq {\mathcal {A}}}$ を満たすとき、情報系という。よって、情報系とは非減少的に順序付けられた σ-加法族の集まりのことである[1]。${\displaystyle \mathbb {F} }$ が情報系であるとき、${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)}$ をフィルター付き確率空間（filtered probability space）または確率基底(stochastic basis)という[2]。

${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ を確率空間 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ 上の確率過程とする。このとき

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$

は σ-加法族であり、${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ は情報系になる。ここで ${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$ は確率変数列 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ によって生成されたσ-加法族を表す。

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ が σ-加法族で

${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1)}$

だから、${\displaystyle \mathbb {F} }$ は確かに情報系になっている。

• 自然情報系

1. Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 191. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6
2. Jean Jacod and Albert N. Shiryaev (2003). Limit Theorems for Stochastic Processes. Grundlehren der mathematischen Wissenschften. 288 (2 ed.). Springer Berlin, Heidelberg. p. 2. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-05265-5
3. Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Switzerland: Springer. p. 350-351. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3
4. Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 462. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6