正規化

量子力学で現れる波動関数 Ψ は二乗可積分関数の空間のベクトルとみなすことができる。この意味でベクトル Ψ は正規化されることが多い。物理的には、この操作は全空間での存在確率の合計を 1 にすることと解釈される。

パターン認識の前処理として、対象の特徴をあらかじめ定められた基準に沿うように加工することを、正規化という。

文字など2次元情報の場合、平行移動して位置をそろえる位置の正規化と、伸縮で大きさをそろえる大きさの正規化（縦の伸縮と横の伸縮とは個別に調整する）が、最も基本的な正規化である。これは、各標本点のX座標とY座標をデータ列とみなし、それぞれに「特徴軸の正規化」を施したことに相当する。

確率密度関数については、横軸をアフィン変換して平均を 0、分散を 1 にすることを正規化という。正規化することによって、標準正規分布関数との、または確率密度関数どうしの比較が容易になる。

関数を台で定積分した逆数を正規化定数 (normalizing constant) という。確率密度関数は台で定積分した値が 1 でなければならない。関数に正規化定数を掛けることによって、（確率密度関数の他の要件も満たせば）確率密度関数が作れる。

例えば、次の関数と台があったときに、

${\displaystyle p(x)=e^{-x^{2}/2},\quad x\in (-\infty ,\infty )}$

台の範囲で定積分すると次式の値になる。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,dx={\sqrt {2\pi \,}},}$

この値の逆数 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}}$ が正規化定数である。

浮動小数点数には、「正規化数」と「非正規化数」という概念がある。浮動小数点数において（ゼロを除く）正規化数は、仮数部が必ず1以上基数（通常は2）未満である。