等長共役

幾何学において、等長共役（とうちょうきょうやく、英:isotomic conjugate）または等距離共役とは $△ ABC$ と点 $P$ について定義される点の一つとの関係である。

定義

$△ ABC$ と、その辺上にない点 $P$ について、 $A', B', C'$ をそれぞれ、直線 $AP, BP, CP$ と $BC, CA, AB$ の交点とする。次に $A', B', C'$ を辺 $BC, CA, AB$ の中点で鏡映した点を、それぞれ $A", B", C"$ とする。このとき $AA", BB", CC"$ を等長共役線(isotomic lines)と言う。3つの等長共役線はチェバの定理より一点で交わる。その点を $P$ の等長共役点または単に等長共役といい、 $P$ とその等長共役点との関係を等長共役と言う。

座標

$P$ の三線座標を $p : q : r$ とすると、 $P$ の等長共役点の三線座標は以下の式で与えられる。

a^{-2}p^{-1}:b^{-2}q^{-1}:c^{-2}r^{-1},

ここで $a, b, c$ はそれぞれ、三角形の $A, B, C$ の対辺の長さである。

$P$ の重心座標を $p : q : r$ とすると、 $P$ の等長共役点の重心座標は以下の式で与えられる。

p^{-1}:q^{-1}:r^{-1}

性質

$△ ABC$ の重心の等長共役点は重心自身である。
類似重心の等長共役点は第三ブロカール点である。
ジェルゴンヌ点の等長共役点はナーゲル点である。
シュタイナー楕円上の点の等長共役は無限遠直線に移る。

出典

Robert Lachlan, An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry, Macmillan and Co., 1893, page 57.
Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 157–159, 278

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Isotomic Conjugate". mathworld.wolfram.com (英語).
Pauk Yiu: Isotomic and isogonal conjugates
Navneel Singhal: Isotomic and isogonal conjugates
C. Kimberling:Encyclopedia of Triangle Centers

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等長共役

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性質

関連項目

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