ナーゲル点

幾何学におけるナーゲル点（ナーゲルてん、Nagel Point）は、任意の三角形に対し一意的に決定される点の名称である。

三角形（黒）とナーゲル点（N で示された青い点）橙色の円は傍接円。

ナーゲル点 N を通るフールマン円。垂心 H と当該円の直径を構成する。

三角形 ABC において、BC と傍接円の接点を T_A とする。同様に T_B, T_C を定義したとき、AT_A, BT_B, CT_C の3直線が交わる点がナーゲル点である。名称は1836年にこの点について言及したドイツのクリスティアン・ハインリヒ・フォン・ナーゲルに由来している。

A と T_A は三角形の周を等分する。このことからナーゲル点は "bisected perimeter point" とも呼ばれる。同じ理由から AT_A などを中界線と呼ぶ。

他の点との関係

ナーゲル点は重心・内心と同一直線上にある。この線をナーゲル線と呼ぶ。三角形の内心は中点三角形のナーゲル点となる。

1913年に Gallatly はナーゲル点の三線座標が以下の式で表されることを示した。

\csc ^{2}(A/2)\,:\,\csc ^{2}(B/2)\,:\,\csc ^{2}(C/2)

三辺の長さを a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| とすると、以下の式で表すことができる。

{\frac {b+c-a}{a}}\,:\,{\frac {c+a-b}{b}}\,:\,{\frac {a+b-c}{c}}.

重心座標では以下の式となる。

(b+c-a)\,:\,(c+a-b)\,:\,(a+b-c)

Anonymous; Hoover, William; Anthony, O. W (1896). Problem 73. “Geometry: 69-72”. American Mathematical Monthly 3 (12): 329. doi:10.2307/2970994. JSTOR 2970994.
Baptist, Peter (1987). “Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt”. Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften 71 (2): 230–233. MR 0936136.
Gallatly, William (1913). The Modern Geometry of the Triangle (2nd ed.). London: Hodgson. pp. page 20

Nagel Point from Cut-the-knot
Nagel Point, Clark Kimberling
Weisstein, Eric W. "Nagel Point". mathworld.wolfram.com (英語).
Spieker Conic and generalization of Nagel line at Dynamic Geometry Sketches Generalizes Spieker circle and associated Nagel line.

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