経緯度

経緯度は基本的にその地表点の垂直ベクトルに基づき、そのベクトルの方向を球面座標で角度表現したものである。

{経度${\displaystyle \lambda }$、緯度${\displaystyle \phi }$｝⇔｛局所垂直ベクトル${\displaystyle (\cos \phi \cos \lambda ,\,\cos \phi \sin \lambda ,\,\sin \phi )}$｝。

地理座標系で用いられる地理経緯度（geographic longitude and latitude）[2]は、地球を回転楕円体と見なし、その面の法線ベクトル方向に基づく[3]。

地理座標（経度${\displaystyle \lambda }$、緯度${\displaystyle \phi }$、高度（楕円体高）${\displaystyle h}$）とECEF直交座標系${\displaystyle (x,y,z)}$との変換、および微小量の式は下記となる（地球楕円体の長半径${\displaystyle a}$、離心率${\displaystyle e={\sqrt {f(2-f)}}}$）。

${\displaystyle {\begin{cases}x=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda },\\y=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda },\\z=\left(N(\phi )(1-e^{2})+h\right)\sin {\phi },\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\\\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\\\end{pmatrix}},\\{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\\\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\\\end{pmatrix}},\\N(\phi )&\triangleq {\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}},\\M(\phi )&\triangleq {\frac {a(1-e^{2})}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{3/2}}}.\end{aligned}}}$

微小量三成分はどれも互いに直交方向となる。${\displaystyle h=0}$では回転楕円体となり、また子午線弧（経線弧）の曲率半径は${\displaystyle M(\phi )}$、卯酉線弧は${\displaystyle N(\phi )}$（緯線弧は${\displaystyle N(\phi )\cos \phi }$）[4]となる。

${\displaystyle (x,y,z)}$から${\displaystyle (\lambda ,\,\phi ,\,h)}$を求める変換計算については上記から導かれる ${\displaystyle \phi }$ の方程式を解く必要がある[5]。

並べる順序には、異なる慣行が存在する。正負については、東経を正の経度${\displaystyle \lambda }$、北緯を正の緯度${\displaystyle \phi }$、南緯向きを正の余緯度とする。

• 右手系では：（経度、緯度、及び高度）の順とする[12][13]。
• これに対して左手系[14]では：（緯度、経度、及び高度）の順とする。局所座標系（地平面）の ${\displaystyle x}$ 方向が北・緯度座標、${\displaystyle y}$ 方向が東・経度座標となる。

方位角は上記と対応した関係が存在する：

• 右手系（反時計回り）：（東→北→西→南）[17]
• 左手系[14]（時計回り）：（北→東→南→西）

方位角を ${\displaystyle \theta }$として、局所座標系（地平面）の単位円は ${\displaystyle (x,y,z)=(\cos \theta ,\sin \theta ,0)}$ となる。

下記では右手系経緯度が採用されている。

• OpenLayers
• MapboxGL
• KML
• GeoJSON
• Well-known text
• MySQL
• MongoDB
• Redis
• Oracle Spatial
• Solr
• Elasticsearch
• Geocouch
• OSRM

1. 天体が球体であれば、球面上の垂直ベクトルは中心を通るので、地理経緯度は地心経緯度に等しい。
2. 地理経緯度は測地経緯度、測地学的経緯度（geodetic longitude and latitude）とも呼ばれる。
3. 扁長もしくは扁平楕円体座標系とは異なる。
4. ムーニエの定理も参照。
5. 解くべき ${\displaystyle \phi }$ の方程式は

   ${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,\\&p={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}}$

   で、またこれは変数 ${\displaystyle \kappa ={\frac {p}{z}}\tan \phi }$についての方程式に帰着できる：

   ${\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+(1-e^{2})z^{2}\kappa ^{2}}}}=0}$

   解き方はGeographic_coordinate_conversion#From_ECEF_to_geodetic_coordinates等を参照のこと。また ${\displaystyle h=e^{-2}(\kappa ^{-1}-(1-e^{2})){\sqrt {p^{2}+z^{2}\kappa ^{2}}}}$
6. 球面の場合と同様に、与えた二点の緯度の中間値${\displaystyle \phi _{\textrm {m}}}$を用いて経線・緯線弧曲率半径の計算を行う。
7. 日本では「Hubeny の（簡易）式」などと呼ばれることもある（ただしその名称は適切ではない）。
8. 180度経線に対しても特異性を持つが、対処は容易である。
9. 例えば「ガウスの平均（中間）緯度法」の式を級数展開したものとして、 Hubeny, K. (1954). Entwicklung der Gauss'schen Mittelbreitenformeln, Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen, Hubeny, K. (1959). Weiterentwicklung der Gauss'schen Mittelbreitenformeln. Zeitschrift für Vermessungswesen.
10. したがって「haversine関数を用いる大円距離計算」（円の弦長に基づき弧長を求める）を回転楕円体（${\displaystyle e\neq 0}$）へ拡張した形となっている。
11. Rapp, R, H (1991). Geometric Geodesy, Part I (Report). Ohio Start Univ. hdl:1811/24333。
12. 和漢の用例でも、この（経度・緯度）の順である「経緯度」である（例えば「日本経緯度原点」、「経緯線」）。
13. 右手系の別慣行の変数及び順序は：（余緯度、経度、及び高度）。数学・物理学における球面座標系の標準はこれに当たる。
14. この左手系の使用は一般的には非推奨とされている。ただし測量、航海術や地理学などの分野はこの左手系の使用は極めて標準的である。
15. 左手系の別慣行では、${\displaystyle x}$方向を右横方向、${\displaystyle y}$方向を下縦方向にとる。
16. 平面直角座標系（日本の規格）では左手系である。
17. 右手系の別慣行では：（南→東→北→西）
18. OGCによるSRS/CRS の定義では大多数の測地系は axis order を左手系経緯度と定義する。
19. 他にSVGフォーマットでは左手系座標が採用されている。

• 経緯線
• 日本経緯度原点
• IERS基準子午線
• 地理座標系
• メルカトル図法
• 平面直角座標系（日本の規格。左手系）
• ISO 6709 (座標の文字列表現の国際標準。原則として左手系）
• 国家座標