異時点間CAPM

金融市場は完全市場で金融資産は連続的に取引可能であると仮定する。金融市場では一つの安全資産と ${\displaystyle n}$ 個のリスク資産が取引されているとする。以下では表記の簡略化のために時間に関する添字を省略するが、基本的にすべての変数は時間によって変動しうる。リスク資産 ${\displaystyle i}$ の価格を ${\displaystyle P_{i}}$ とすると、${\displaystyle P_{i}}$ は以下の確率微分方程式に従う。

${\displaystyle dP_{i}=P_{i}(\alpha _{i}dt+\sigma _{i}dZ_{i})}$

ここで ${\displaystyle Z_{i}}$ はブラウン運動である。ただし、異なる ${\displaystyle i,j}$ について ${\displaystyle Z_{i}}$ と ${\displaystyle Z_{j}}$ が相関することを許す。異なる資産 ${\displaystyle i,j}$ の収益率の瞬間的な共分散は、${\displaystyle Z_{i}}$ と ${\displaystyle Z_{j}}$ の瞬間的な相関係数を ${\displaystyle \rho _{i,j}}$ とすれば、

${\displaystyle \sigma _{i,j}:={\frac {{\Big \langle }{\frac {dP_{i}}{P_{i}}},{\frac {dP_{j}}{P_{j}}}{\Big \rangle }}{dt}}=\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{i,j}}$

であり、資産 ${\displaystyle i}$ の瞬間的な期待収益率は ${\displaystyle \alpha _{i}}$ となる。また安全資産の価格 ${\displaystyle P_{0}}$ は次の常微分方程式に従う。

${\displaystyle {\frac {dP_{0}}{dt}}=rP_{0}}$

ここで、${\displaystyle \alpha _{i},\sigma _{i,j},i,j=1,\dots ,n}$ と ${\displaystyle r}$ は、${\displaystyle S}$ 個の状態変数 ${\displaystyle X_{s},s=1,\dots ,S}$ の変動によってその値が変動する。状態変数 ${\displaystyle X_{s}}$ は次の確率微分方程式に従う。

${\displaystyle dX_{s}=f_{s}dt+g_{s}dQ_{s}}$

ここで ${\displaystyle Q_{s}}$ はブラウン運動で異なる ${\displaystyle s}$ や ${\displaystyle Z_{i},i=1,\dots ,n}$ と相関することを許容する。つまり、状態変数 ${\displaystyle X_{s}}$ と資産 ${\displaystyle i}$ のリターンの瞬間的な共分散は、${\displaystyle Q_{s}}$ と ${\displaystyle Z_{i}}$ の瞬間的な相関係数を ${\displaystyle \eta _{s,i}}$ とすると

${\displaystyle \sigma _{s,i}:={\frac {{\Big \langle }dX_{s},{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}{\Big \rangle }}{dt}}=g_{s}\sigma _{i}\eta _{s,i}}$

となる。同様にして状態変数 ${\displaystyle X_{s}}$ と ${\displaystyle X_{s^{\prime }}}$ の瞬間的な共分散は ${\displaystyle \sigma _{s,s^{\prime }}=g_{s}g_{s^{\prime }}\nu _{s,s^{\prime }}}$ となる。ただし、${\displaystyle \nu _{s,s^{\prime }}}$ は ${\displaystyle Q_{s}}$ と ${\displaystyle Q_{s^{\prime }}}$ の瞬間的な相関係数である。さらにここで重要な仮定として、${\displaystyle P_{i},i=0,1,\dots ,n}$ と ${\displaystyle X_{s},s=1,\dots ,S}$ は斉時的（英: time-homogeneous）なマルコフ過程であるとする。

投資家 ${\displaystyle k}$ の資産への投資比率を表すポートフォリオを ${\displaystyle w_{i}^{k},i=1,\dots ,n}$ とし、投資家の総資産 ${\displaystyle W^{k}}$ は以下の確率微分方程式に従うものとする。

${\displaystyle dW^{k}=W^{k}\left(\left(1-\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}\right){\frac {dP_{0}}{P_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}\right)-c^{k}dt=\left(\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}(\alpha _{i}-r)+r\right)W^{k}-c^{k}\right)dt+W^{k}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}\sigma _{i}dZ_{i}}$

ここで ${\displaystyle c^{k}}$ は投資家 ${\displaystyle k}$ の消費額を表す。

投資家 ${\displaystyle k}$ は次の時点 ${\displaystyle t}$ から ${\displaystyle T>t}$ までの期待効用最大化問題に直面しているとする。

${\displaystyle V^{k}(t,W^{k},x_{1},\dots ,x_{S})=\max _{w_{1}^{k},\dots ,w_{n}^{k},c^{k}}E_{t,x}\left[\int _{t}^{T}u(c^{k}(s),s)ds+B(W^{k}(T),T)\right]}$

${\displaystyle {\mbox{subject to }}dW^{k}=\left(\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}(\alpha _{i}-r)+r\right)W^{k}-c^{k}\right)dt+W^{k}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}\sigma _{i}dZ_{i},}$

${\displaystyle dX_{s}=f_{s}dt+g_{s}dQ_{s},s=1,\dots ,S}$

${\displaystyle W^{k}(t)=W^{k},X_{s}(t)=x_{s},s=1,\dots ,S}$

ただし、${\displaystyle c^{k}(s)}$ は ${\displaystyle s}$ 時点における ${\displaystyle c^{k}}$ の値を指す。${\displaystyle W^{k}(T),W^{k}(t),X_{s}(t)}$ も同様である。${\displaystyle u}$ と ${\displaystyle B}$ はそれぞれ効用関数である。これはマートンのポートフォリオ問題にあたるが、状態変数が最大化問題に含まれるのでハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン方程式は標準的なマートンのポートフォリオ問題とは異なる形状になる。ハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン方程式からこの期待効用最大化問題の解となる最適投資比率は次の連立方程式の解となる。

${\displaystyle 0=(\alpha _{i}-r)V_{W}^{k}W^{k}+V_{WW}^{k}(W^{k})^{2}\sum _{j=1}^{n}\sigma _{i,j}w_{j}^{k}+W^{k}\sum _{s=1}^{S}g_{s}\sigma _{i}\eta _{s,i}V_{Wx_{s}}^{k},\quad i=1,\dots ,n}$

ただし、${\displaystyle V_{W}^{k}={\frac {\partial V^{k}}{\partial W^{k}}},V_{WW}^{k}={\frac {\partial ^{2}V^{k}}{\partial (W^{k})^{2}}},V_{Wx_{s}}^{k}={\frac {\partial V^{k}}{\partial W^{k}\partial x_{s}}},s=1,\dots S}$ である。ここで行列表記を導入して

${\displaystyle \alpha -r=\left({\begin{array}{c}\alpha _{1}-r\\\vdots \\\alpha _{n}-r\end{array}}\right),\quad \sigma _{PP}=\left({\begin{array}{ccc}\sigma _{1,1}&\cdots &\sigma _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{n,1}&\cdots &\sigma _{n,n}\end{array}}\right),\quad \sigma _{PX}=\left({\begin{array}{ccc}\sigma _{1}g_{1}\eta _{1,1}&\cdots &\sigma _{1}g_{S}\eta _{S,1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{n}g_{1}\eta _{1,n}&\cdots &\sigma _{n}g_{S}\eta _{S,n}\end{array}}\right),}$

${\displaystyle w^{k}=\left({\begin{array}{c}w_{1}^{k}\\\vdots \\w_{n}^{k}\end{array}}\right),\quad H^{k}=\left({\begin{array}{c}-{\frac {V_{Wx_{1}}^{k}}{V_{WW}^{k}}}\\\vdots \\-{\frac {V_{Wx_{S}}^{k}}{V_{WW}^{k}}}\end{array}}\right),\quad A^{k}=-{\frac {V_{W}^{k}}{V_{WW}^{k}}}}$

とすれば、最適投資比率は以下を満たすことが分かる。

${\displaystyle W^{k}w^{k}=A^{k}\sigma _{PP}^{-1}(\alpha -r)+\sigma _{PP}^{-1}\sigma _{PX}H^{k}}$

この式は投資家 ${\displaystyle k}$ の金額ベースでの需要関数を表している。

金融市場には ${\displaystyle K}$ 人の投資家がいるとして、市場におけるリスク資産に対する総需要関数ベクトルは

${\displaystyle D:=\sum _{k=1}^{K}W^{k}w^{k}=A\sigma _{PP}^{-1}(\alpha -r)+\sigma _{PP}^{-1}\sigma _{PX}H}$

となる。ただし、${\displaystyle A=\sum _{k=1}^{K}A^{k},H=\sum _{k=1}^{K}H^{k}}$ である。ここで ${\displaystyle \phi _{M}}$ を市場ポートフォリオとすると、市場ポートフォリオの収益率は

${\displaystyle {\frac {dP_{M}}{P_{M}}}:=\sum _{i=1}^{n}\phi _{M,i}{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\phi _{M,i}\alpha _{i}\right)dt+\sum _{i=1}^{n}\phi _{M,i}\sigma _{i}dZ_{i}}$

となる。よって市場ポートフォリオの瞬間的なリスクプレミアムは ${\displaystyle \alpha _{M}-r=\phi _{M}^{\prime }(\alpha -r)}$ であり、瞬間的な分散は ${\displaystyle \phi _{M}^{\prime }\sigma _{PP}\phi _{M}}$ で表される。ただし、${\displaystyle x^{\prime }}$ はベクトル ${\displaystyle x}$ の転置を指す。ここで一般均衡における市場清算条件から、市場全体のリスク資産に対する時価総額を ${\displaystyle M}$ とすれば、

${\displaystyle \phi _{M}={\frac {D}{M}}={\frac {A}{M}}\sigma _{PP}^{-1}(\alpha -r)+\sigma _{PP}^{-1}\sigma _{PX}{\frac {H}{M}}}$

が成り立つ。さらにリスク資産と市場ポートフォリオの共分散ベクトルより、

${\displaystyle \sigma _{PM}:=\left({\begin{array}{c}{\dfrac {{\Big \langle }{\frac {dP_{1}}{P_{1}}},{\frac {dP_{M}}{P_{M}}}{\Big \rangle }}{dt}}\\\vdots \\{\dfrac {{\Big \langle }{\frac {dP_{n}}{P_{n}}},{\frac {dP_{M}}{P_{M}}}{\Big \rangle }}{dt}}\end{array}}\right)=\sigma _{PP}\phi _{M}={\frac {A}{M}}(\alpha -r)+\sigma _{PX}{\frac {H}{M}}}$

となる。よって ${\displaystyle \alpha -r={\frac {M}{A}}\sigma _{PM}-\sigma _{PX}{\frac {H}{A}}}$ である。加えて、${\displaystyle \alpha _{M}-r=\phi _{M}^{\prime }(\alpha -r)={\frac {M}{A}}\sigma _{MM}-\sigma _{MX}{\frac {H}{A}}}$ となる。ただし、${\displaystyle \sigma _{MX}}$ は市場ポートフォリオと状態変数の共分散ベクトルである。よって ${\displaystyle {\frac {M}{A}}={\frac {\alpha _{M}-r}{\sigma _{MM}}}+{\frac {\sigma _{MX}}{\sigma _{MM}}}{\frac {H}{A}}}$ となる。これを ${\displaystyle \alpha -r}$ に代入すると、

${\displaystyle \alpha -r={\frac {\sigma _{PM}}{\sigma _{MM}}}(\alpha _{M}-r)+{\frac {1}{\sigma _{MM}}}{\Big (}\sigma _{PM}\sigma _{MX}-\sigma _{MM}\sigma _{PX}{\Big )}{\frac {H}{A}}}$

となる。右辺第二項をヘッジ項と見なせば、以下が成り立つ。

${\displaystyle \alpha _{i}-r={\frac {\sigma _{i,M}}{\sigma _{MM}}}(\alpha _{M}-r)+Hedge_{i}}$

次に状態模倣ポートフォリオが存在すると仮定する。つまり、任意の ${\displaystyle s=1,\dots ,S}$ について、あるポートフォリオ ${\displaystyle \phi _{s}}$ が存在して、

${\displaystyle dX_{s}=\left(1-\sum _{i=1}^{n}\phi _{s,i}\right){\frac {dP_{0}}{P_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}\phi _{s,i}{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}}$

を満たすとする。ここで行列 ${\displaystyle \Phi }$ を

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{array}{ccc}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{S,1}&\cdots &\phi _{S,n}\end{array}}\right)}$

とすると、状態模倣ポートフォリオの瞬間的な収益率の分散共分散行列は ${\displaystyle \sigma _{\Phi \Phi }=\sigma _{XX}=\Phi \sigma _{PP}\Phi ^{\prime }}$ となる。また瞬間的な期待収益率は ${\displaystyle \alpha _{\Phi }=\Phi (\alpha -r)+r}$ となる。よって

${\displaystyle \alpha _{\Phi }-r=\Phi (\alpha -r)={\frac {\sigma _{\Phi M}}{\sigma _{MM}}}(\alpha _{M}-r)+{\frac {1}{\sigma _{MM}}}{\Big (}\sigma _{\Phi M}\sigma _{M\Phi }-\sigma _{MM}\sigma _{\Phi \Phi }{\Big )}{\frac {H}{A}}}$

となる。つまり、${\displaystyle {\frac {H}{A}}={\Big (}\sigma _{\Phi M}\sigma _{M\Phi }-\sigma _{MM}\sigma _{\Phi \Phi }{\Big )}^{-1}{\Big (}\sigma _{MM}(\alpha _{\Phi }-r)-\sigma _{\Phi M}(\alpha _{M}-r){\Big )}}$ である。以上から

${\displaystyle \alpha -r={\frac {\sigma _{PM}}{\sigma _{MM}}}(\alpha _{M}-r)+{\frac {1}{\sigma _{MM}}}{\Big (}\sigma _{PM}\sigma _{M\Phi }-\sigma _{MM}\sigma _{P\Phi }{\Big )}{\Big (}\sigma _{\Phi M}\sigma _{M\Phi }-\sigma _{MM}\sigma _{\Phi \Phi }{\Big )}^{-1}{\Big (}\sigma _{MM}(\alpha _{\Phi }-r)-\sigma _{\Phi M}(\alpha _{M}-r){\Big )}}$

${\displaystyle =\left({\begin{array}{cc}\sigma _{PM}&\sigma _{P\Phi }\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}\sigma _{MM}&\sigma _{M\Phi }\\\sigma _{\Phi M}&\sigma _{\Phi \Phi }\end{array}}\right)^{-1}\left({\begin{array}{c}\alpha _{M}-r\\\alpha _{\Phi }-r\end{array}}\right)}$

となり、マルチファクターモデルとして表現可能である。

投資家の数が一人に集約できる代表的個人モデルを考える。また状態変数は一つしか存在しないとする。この時、最適な投資比率は

${\displaystyle Ww=-{\frac {V_{W}}{V_{WW}}}\sigma _{PP}^{-1}(\alpha -r)-\sigma _{PP}^{-1}\sigma _{PX}{\frac {V_{WX}}{V_{WW}}}}$

で表される。よって

${\displaystyle \alpha -r=\gamma _{t}\sigma _{PP}w-{\frac {V_{WX}}{V_{W}}}\sigma _{PX}}$

となる。ただし、${\displaystyle \gamma _{t}=-{\frac {V_{WW}W}{V_{W}}}}$ である。また ${\displaystyle \sigma _{PP}w}$ は ${\displaystyle dW/W}$ と ${\displaystyle dP/P}$ の瞬間的な共分散を表す。よって上のベクトルについての方程式を要素ごとに見れば、

${\displaystyle E\left[{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}-rdt\right]=\gamma _{t}\mathrm {Cov} \left({\frac {dP_{i}}{P_{i}}},{\frac {dW}{W}}\right)-{\frac {V_{WX}}{V_{W}}}\mathrm {Cov} \left({\frac {dP_{i}}{P_{i}}},dX\right)}$

という共分散についての式としてICAPMを解釈することが出来る[7]。