エジプト式分数

古代エジプト人たちは、2/3 を唯一の例外として、単位分数のみを表記した。単位分数 1/n を表すために、神官文字では点を、神聖文字では

を n を表す記号の上に置いた。例えば

${\displaystyle ={\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{10}}}$

といった具合である。1/2 と 2/3 のみ、特別なグリフ

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle ={\frac {2}{3}}}$

を持つ。2/3 のグリフは、正確には右の縦線が若干長い。長い方が 1 を、短い方が 1/2 を表し、全体としてはその和 3/2 の逆数を意味している[2]。

現代の数学史家は、リンド・パピルスなどの古文書を調べ、古代エジプト人のエジプト式分数による計算方法がどのようなものであったかを研究した。特に、リンド・パピルスに書かれた 2/n の表現がどのように得られたのかに注目し、様々な説を立てている。古代エジプト人が、分数を単位分数の和に表す系統的な方法を知っていたかどうかは不明であるが、少なくとも単一の方法のみを用いたのではなさそうである。恒等式 2/2m + 1 = 1/m + 1 + 1/(m + 1)(2m + 1) を用いれば、単一の方法で2つの単位分数の和に表せるにもかかわらず、分母が大きくなるのを嫌ってか、リンド・パピルスでは3項あるいは4項の和に表しているものもある。数学史家たちの分析によれば、分母が素数の場合と合成数の場合で、リンド・パピルスの著者は異なる方法を用いており、それぞれの場合においても複数の方法を用いている。

小さな奇素数 p = 2m + 1 (3, 5, 7, 11, 23) に対しては、恒等式 2/2m + 1 = 1/m + 1 + 1/(m + 1)(2m + 1) が用いられている。この方法は奇素数に限らず、任意の奇数に対して使用できる。

大きめの奇素数 p (13, 17, 19, 29, …) に対しては、恒等式 2/p = 1/A + 2A − p/Ap が用いられている。ここで、A は p/2 < A < p を満たし、約数を多く持つ数が選ばれる。2A − p/Ap について、分子が A のいくつかの約数の和に表すことができれば、約分して単位分数の和を得る。例えば、p = 37 に対して A = 24 とすると、2A − p = 11 = 3 + 8 で 3 と 8 は 24 の約数であるから、リンド・パピルスの展開 2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296 を得る。A を取り替えたり、約数の和に分解する方法を変えたりすると別の展開を得る。

分母が2つの奇素数の積として pq であるとき、a = p + 1/2 として恒等式 2/pq = 1/aq + 1/apq を用いることができる。例えば、p = 3, q = 7 のとき、a = 2 より 2/21 = 1/14 + 1/42 を得る。この方法で、リンド・パピルスの単位分数展開のうち、分母が半素数であるものの多くは説明が付く。

分母が半素数の場合、r = p + q/2 として恒等式 2/pq = 1/pr + 1/qr を用いることもできる[6]。例えば、p = 5, q = 7 とすると、リンド・パピルスの表示 2/35 = 1/30 + 1/42 を得る。2/91 についても同様である。

その他の合成数 n については、n の約数 m に対する 1/m の単位分数展開から得られる。例えば、2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 を 5 で割ることにより、2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570 を得る。実際は、1/380 + 1/570 = 1/228 であるから、より簡単な展開を得るが、リンド・パピルスでは簡約化されていないものが記されている。3つ以上の素数の積、27, 45, 63, 75, 81, 99 に対してもこの方法で説明が付く。

リンド・パピルスの最後の単位分数展開 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606 は、以上のどれにも当てはまらないが、恒等式 2/p = 1/p + 1/2p + 1/3p + 1/6p に p = 101 を代入して得られる。これと同等の等式は『エジプト数学羊皮紙巻子本』でも用いられている。

リンド・パピルスの最初に記された単位分数展開の一覧[7]を下記の表に記す。2/3 は別格として特別の注意が払われている。単位分数展開は一意ではないが、リンド・パピルスでは、1つの分数に対して1つの展開だけが記されており、それは必ずしも最も単純な展開ではない。例えば、2/13 = 1/7 + 1/91 であるが、なぜかこれよりも項数が多く、分母も大きなものが記されている。

背景が水色のセルはリンド・パピルスに記されている展開方法を示す。

以上のいずれの方法の通用しない場合に対して、フィボナッチは強欲算法[注釈 1](greedy algorithm) と呼ばれる方法を提案した。単位分数の和に展開しようとする分数に対して、それ以下の最大の単位分数を取る。それを引いた残りに対しても、繰り返し最大の単位分数を取る。式で書けば、分数 x/y を

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {1}{\lceil y/x\rceil }}+{\frac {x-(y\,{\bmod {\,}}x)}{y\lceil y/x\rceil }}}$

と、次々に置き換える方法である。ここに、括弧は天井関数である。例えば、4/13 に強欲算法を適用すると、

4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468

となる。

フィボナッチは、強欲算法の手続きが有限回で終了することの証明を与えてはいない。後にシルベスターはこの方法を再発見し、有限回で終了することの証明も与え、1880年に発表した[1]。実際、一度の手続きで分子は少なくとも 1 小さくなるので、a/b は多くとも a 個の単位分数の和で表せる。2人の名を取って、強欲算法は「フィボナッチ＝シルベスターのアルゴリズム」とも呼ばれる。

フィボナッチ自身も注意したように、強欲算法はときに複雑な単位分数展開を与える。例えば、5/121 に強欲算法を適用すると、

5/121 = 1/25 + 1/757 + 1/763309 + 1/873960180913 + 1/1527612795642093418846225

となるが、ずっと簡潔な単位分数展開

5/121 = 1/33 + 1/121 + 1/363

を持つ。強欲算法は単純で分かりやすく、任意の分数が異なる単位分数の和で表せることの易しい証明も与えるが、このように複雑な展開になる場合もあるため、フィボナッチ自身は、最初の分解の後は他の方法を適用することを勧めている。

単位分数 1/n に強欲算法を適用すると、恒等式

1/n = 1/n + 1 + 1/n(n + 1)

を得る。これより、単位分数は2つの単位分数の和に表せるので、任意の分数は無数に多くの単位分数展開を持つ。

任意に与えられた分数 x/y は、単位分数展開として、その最大分母が高々

${\displaystyle O\left({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\right)}$

であるものを持つ[10]。また、項数が高々

${\displaystyle O\left({\sqrt {\log y}}\right)}$

であるものを持つ[11]。ここに、O はランダウの記号である。

グラハムは、2以上の任意の自然数 n に対し、分母を n 乗数に限った場合にエジプト式分数として表せるような有理数を特徴付けた[12]。例えば、有理数 q がいくつかの平方数（1 を含める）の逆数の和として表せるための必要十分条件は、q が2つの半開区間の和集合

${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)}$

に含まれることである。ここに現れる ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ は、リーマンゼータ関数 ζ の特殊値 ζ(2) である。

エルデシュとグラハムは、2 以上の整数の集合を有限個の集合に分割した場合、それがどのような分割であっても、そのうちの一つの集合の有限部分集合 S を取って

${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1}$

とできると予想した。予想の内容は、よく次のように言い換えられる。「単位分数を有限個の色でどのように色分けしても、そのうちの単色のみを用いて 1 の単位分数展開が得られる。」この予想は2003年に証明された[13]。

エジプト式分数に関するオープンプロブレムを以下に挙げる。

任意の分数に対し、項数や最大分母が最小の単位分数展開を総当たり法で見つけることはできるが、この問題が計算複雑性理論においてどの複雑性クラスに属するのか、例えば多項式時間で見つけられるかは知られていない。

エルデシュ＝シュトラウス予想は、すべての整数 n ≥ 2 に対し

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}}$

は正の整数解を持つ、という予想である[14]。エルデシュ＝シュトラウス予想が成り立つことは n < 10¹⁴ まで確かめられている[15]。また、n が 840 を法として 1², 11², 13², 17², 19², 23² に合同な場合を除き、予想が成り立つことが示されている[16]。

ヴァツワフ・シェルピニスキは、2以上の任意の整数 n に対し、

5/n = 1/x + 1/y + 1/z

は正の整数解を持つと予想した[14]。さらに「任意の整数 k に対し、n が十分大きければ、真分数 k/n は3つ以下の単位分数の和で表せる」とも予想した[1]。

分母が奇数である単位分数に限れば、その和も分母が奇数になる。逆に、分母が奇数である分数は、分母が奇数である単位分数展開が可能であることが知られている[1]。しかし、分母を奇数に限った場合に、強欲算法が有限回で終了するかどうかは知られていない。

単位分数展開は、しばしば数学パズルの題材にもなる。特に人気があるのは、1 の単位分数展開である。1 に対して強欲算法を用いると、有名な表示

1 = 1/2 + 1/3 + 1/6

を得る。

用いることができる単位分数に制限をかけると、より深みのある類似の問題が多く考えられる。例えば、分母を奇数に限ると、強欲算法によって 1 は13個の単位分数の和に表され、最後の項の分母は

209525411280522638000804396401925664136495425904830384693383280180439963265695525939102230139815

となる[17]。項数が最小なのは9項のものであり、そのようなものは全部で5通りあることが知られている[1][18]。その中でも、最大分母が最小であるものは

1 = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/15 + 1/35 + 1/45 + 1/231

である。項数を度外視した場合、最大分母が最小であるものは、11項の和

1 = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/33 + 1/35 + 1/45 + 1/55 + 1/77 + 1/105

である[1]。