積分微分方程式

次のような一階の問題を考える。

${\displaystyle u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\left\{{\begin{array}{ll}1,\quad x\geq 0\\0,\quad x<0\end{array}}\right.\quad {\text{with}}\quad u(0)=0.}$

ラプラス変換は次のように定義される。

${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.}$

各項にラプラス変換を適用し、微積分の法則を利用することで、上記の積分微分方程式は次のような代数的方程式へ変換される。

${\displaystyle sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.}$

したがって

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}}$

が得られる。線積分を用いながら逆変換を行うことで、結果として

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)}$

が得られる。