ドラゴン曲線

Recursive construction of the curve

ヘイウェイ・ドラゴンは、

• 角度 90°
• 初期文字列 FX
• 文字列書き換え規則
  • X ${\displaystyle \rightarrow }$ X+YF+
  • Y ${\displaystyle \rightarrow }$ −FX−Y.

であるようなL-systemにより構成することが出来る。

また、次のような手順で描くことが出来る: 基本となる線分から始めて、各線分を「直角をなすような二つの線分」によって置き換える。ただし置き換える際に線分を回転させる方向は、右、左…と交互になるようにする。

The first 5 iterations and the 9th

ヘイウェイ・ドラゴンは次のような複素平面における反復関数系の極限集合でもある:

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {\left(1+i\right)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {\left(1-i\right)z}{2}}}$

ここで、点の初期集合は ${\displaystyle S_{0}=\{0,1\}}$ とする。

実数のペアを用いれば、これは次のような二つの関数

${\displaystyle f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\equiv {\dfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\equiv {\dfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-1&-1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

とも等しい。Apophysisのようなソフトウェアでは、こちらの表現の方が一般的に使われている。

• その奇妙な外観にかかわらず、ヘイウェイ・ドラゴン曲線の次元は単純なものである。

• その表面（surface）も単純である。初期線分が 1 と等しいなら、その表面は ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$ と等しくなる。この結果は、曲線が敷き詰められていく性質に起因する。
• その境界の長さは無限大である。なぜならば、反復が行われる毎に係数 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ によって増大していくからである[1]。
• ヘイウェイ・ドラゴン曲線は、自分自身とは決して交わらない。
• ヘイウェイ・ドラゴン曲線には多くの自己相似性が見られる。もっとも分かりやすいものは、45° の傾きと減少率 ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$ を伴うパターンの繰り返しである。

• そのフラクタル次元は計算によって ${\displaystyle \textstyle {{\frac {\ln 2}{\ln {\sqrt {2}}}}=2}}$ であることが分かる。これにより、ヘイウェイ・ドラゴン曲線は空間充填曲線であることが分かる。

• その境界のフラクタル次元の数値的な近似は Chang と Zhang によって得られた[2]。実際、解析的には

${\displaystyle \log _{2}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{73-6{\sqrt {87}}}}+{\sqrt[{3}]{73+6{\sqrt {87}}}}}{3}}\cong 1.523627086202492.}$

と得られる[3]。これは方程式 ${\displaystyle \textstyle {4^{x}\left(2^{x}-1\right)=4\left(2^{x}+1\right)}}$ の根である。

ドラゴン曲線には、平面上にタイル張りする方法が多く存在する。