ハウスドルフ次元

部分集合 X の直径 |X|

次元を定義したい図形として、n-次元ユークリッド空間 ℝⁿ 上の空ではない部分集合 X を考える[20]。ユークリッド空間に限定せずに、一般の距離空間でもよい[21]。X 上の 2 点 x, y のユークリッド距離を d(x, y) で表す。集合 X の直径を次で定義する。

${\displaystyle \left\vert X\right\vert =\sup\{d(x,y)\ |\ x,y\in X\}}$

ここで sup は上限を意味し、d(x, y) は x と y のユークリッド距離である[22]。単純に言えば、直径とは集合 X の中のもっとも離れた2点間の距離を意味している[23]。

部分集合 X に対する δ 被覆の例

ある X が与えられたとき、それに対する可算個の集合族 {U_i} による被覆を考える。ただし、{U_i} それぞれの直径は、ある正の実数 δ 以下とする。このような {U_i} を δ 被覆と呼ぶ。すなわち、

${\displaystyle X\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}}$ かつ ${\displaystyle \left\vert U_{i}\right\vert \leq \delta }$

である。{U_i} は有限個でもよい[24]。

さらに、各々の U_i の直径を正の実数 s で冪乗したものの総和 ∑∞
i = 1|U_i|^s を取る。そして、δ と s の値を固定し、X に対して可能なあらゆる δ 被覆 {U_i} を考えた場合の ∑∞
i = 1|U_i|^s の下限を取る。これを

${\displaystyle H_{\delta }^{s}(X)=\inf \sum _{i=1}^{\infty }\left\vert U_{i}\right\vert ^{s}}$

と定義する[24]。

被覆を抑える2つの直径 δ が δ₂ < δ₁ という大小関係にあるとする。このとき、直径を δ₁ 以下とする被覆は、直径を δ₂ 以下とする被覆を含んでいる。よって、H s
δ₁ の値は、H s
δ₂ よりも小さいか等しいかのいずれかとなる。結局、

${\displaystyle \delta _{2}<\delta _{1}}$ ならば ${\displaystyle H_{\delta _{2}}^{s}(X)\leq H_{\delta _{1}}^{s}(X)}$

であるから、H s
δ は δ の減少とともに単調増加する[25]。したがって、

${\displaystyle H^{s}(X)=\lim _{\delta \to 0}\inf \sum _{i=1}^{\infty }\left\vert U_{i}\right\vert ^{s}}$

という極限値が、 H ^s(X) = ∞ の場合まで含めると常に存在する[26]。この H ^s(X) は外測度の条件を満たし、s 次元ハウスドルフ外測度やハウスドルフ s 次元外測度と呼ばれる[27]。さらに、可測集合（または σ-集合体）に制限した H ^s は s 次元ハウスドルフ測度やハウスドルフ s 次元測度と呼ばれる[28]。

上記のように定義された s 次元ハウスドルフ外測度 H ^s(X) を、X を固定して s の関数として見る。s < t を満たす任意の s と t について、δ 被覆は、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\vert U_{i}\right\vert ^{t}=\sum _{i=1}^{\infty }\left\vert U_{i}\right\vert ^{t-s}\left\vert U_{i}\right\vert ^{s}\leq \delta ^{t-s}\left\vert U_{i}\right\vert ^{s}}$

を満たすので、

${\displaystyle H_{\delta }^{t}(X)\leq \delta ^{t-s}H_{\delta }^{s}(X)}$

という関係が成り立つ[29]。よって、δ → 0 である H ^s(X) は s の単調減少関数である[29]。

s の関数としての見たときの H ^s(X) のグラフ

さらに、上の関係により、H ^s(X) < ∞ であるならば H ^t(X) = 0 である。また、H ^t(X) > 0 であるならば、H ^s(X) = ∞ である[30]。したがって、H ^s(X) を s の関数として見たとき、H ^s(X) は高々 1 つの第一種不連続点 s を持つ[31]。この不連続点を D と表すと、

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=\inf\{s\in [0,\ \infty )|H^{s}(X)=0\}\\&=\sup\{s\in [0,\ \infty )|H^{s}(X)=\infty \}\end{aligned}}}$

を満たす D ≥ 0 が唯一定まる[32]。ハウスドルフ次元またはハウスドルフ・ベシコビッチ次元とは不連続点 D の値のことで、これを dim_H(X) や dim_H X などと表して

${\displaystyle \dim _{H}(X)=\inf\{s\in [0,\ \infty )|H^{s}(X)=0\}}$

あるいは、

${\displaystyle \dim _{H}(X)=\sup\{s\in [0,\ \infty )|H^{s}(X)=\infty \}}$

で定義される[33]。

ハウスドルフ次元の意味を直感的に説明すると、ハウスドルフ外測度 H ^s(X) の次元 s はものさしの粗さのようなもので、s < dim_H(X) で H ^s(X) = ∞ となるのは、集合 X の厚さを測るのには s がものさしとして細か過ぎて、そのものさしからは X は捕え切れないほど大きく見える状態である[34]。一方、s > dim_H(X) で H ^s(X) = 0 となるのは、集合 X の厚さを測るのには s がものさしとして粗過ぎて、そのものさしからはX の厚さは無視できるほど小さく見える状態である[34]。s = dim_H(X) は、それらの中間で、X の厚さを測るのにちょうどいい粗さのものさしであることを意味している[34]。

ハウスドルフ外測度を定義するために出てきた ∑∞
i = 1|U_i|^s という和は、s = 1 を代入してみると、∑∞
i = 1|U_i|¹ という長さ |U_i| の線分の長さの合計となる。これを使って集合 X のハウスドルフ外測度を求めるという行為は、X の長さのような量を決めているのに等しい。集合 X が曲線だとすれば、X は実際に長さに相当する量を持っているので、s = 1 のハウスドルフ外測度でその長さを測ることができる[35]。同様に s = 2 で考えると、∑∞
i = 1|U_i|² は一辺長さが |U_i| の正方形の面積の合計である。よって、集合 X が面であれば、s = 2 で適切にその面積を測ることができる[36]。

このように、ある集合の長さや面積のような量を測るにあたっては、適切な s の値が存在する。適切な s の値は、逆にその集合を特徴づけすることができる値とも捉えられる。曲線ならば s = 1 で面ならば s = 2 であったが、集合がもっと複雑になれば自然数ではない s の値が最適ということもありうる。このような考え方にもとづいて、 ∑∞
i = 1|U_i|^s 自体の値ではなく、s の方の最適値に着目して定義としたのがハウスドルフ次元といえる[37]。

一般的に、与えられた集合 X のハウスドルフ次元を決定するのは困難である[45]。次元を決定するためによく使われる手法は、上からの評価と下からの評価を行い、それらが同じ値を取ることを証明する手法である[46]。すなわち、dim_H(X) ≤ s（上から）かつ dim_H(X) ≥ s（下から）であることを証明すれば dim_H(X) = s である[46]。上からの評価は比較的簡単で、特殊な δ 被覆を設定すれば求まる[47]。特に一般的に大変なのが、ハウスドルフ測度およびハウスドルフ次元の下からの評価を得ることである[48]。下からの評価のためにはあらゆる被覆を考えて決める必要があり、難しくなる[49]。

カントールの3進集合の構成

数直線 ℝ¹ 上の図形であれば、定義からの直接計算でもハウスドルフ次元の決定は比較的容易である[49]。ハウスドルフ次元が非整数を取る図形の中でもっとも有名な集合として、カントール集合がある[50]。カントール集合ないしカントールの3進集合とは、線分 1 の中央から1/3の長さの線分を除去し、さらに残った2つの線分の中央のそれぞれの1/3の長さの線分を除去し、という操作を繰り返し無限回行うことで得られる図形である[51]。カントール集合を作る途中の k 番目の操作でできる図形を C_k と表すと

${\displaystyle C_{k}=\left[0,{\frac {1}{3^{k}}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3^{k}}},{\frac {3}{3^{k}}}\right]\cup \ldots \cup \left[{\frac {3^{k}-1}{3^{k}}},1\right]}$

であり、カントール集合を C と表すと

${\displaystyle C=\bigcap _{k=1}^{\infty }C_{k}}$

と定義される[52]。カントール集合はハウスドルフ次元を正確に決定できる少ない例のうちの一つである[53]。

カントール集合のハウスドルフ測度およびハウスドルフ次元の場合、I_k を C に対する δ 被覆と考えれば、上からの評価が得られる[54]。この被覆について s = log 2/log 3 と仮定すると、 H ^s(C) ≤ 1 および dim_H(C) ≤ s であることが得られる[55]。また、少し技巧的な証明を要するが、任意の閉区間による被覆に対して H ^s(C) ≥ 1 および dim_H(C) ≥ s であることが得られる[56]。したがって、dim_H(C) = log 2/log 3 である[56]。

フラクタルの中でも、ハウスドルフ次元を正確かつ簡単に決定できるクラスの集合がある[57]。写像 f : ℝⁿ → ℝⁿ が、ある定数 c_i < 1 が存在して、

${\displaystyle \left\vert f(x)-f(y)\right\vert \leq c_{i}\left\vert x-y\right\vert }$

が任意の x, y ∈ ℝⁿ について成り立つとき、f を縮小写像という[58]。m ≥ 2 個の縮小写像の組 f₁, f₂, …, f_m : ℝⁿ → ℝⁿ が与えられたとき、

${\displaystyle U\bigcup _{i=1}^{m}f_{i}}$

を満たすコンパクト集合 U ⊂ ℝⁿ を自己相似集合という[59]。自己相似集合 U が

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}f_{i}\subset U}$

かつ任意の i と j ≠ i について

${\displaystyle f_{i}(U)\cap f_{j}(U)=\emptyset }$

を満たすとき、U は開集合条件を満たすという[60]。

さらに、m ≤ 2 個の縮小写像の組における各写像 f_i について、ある定数 c_i < 1 が存在し、

${\displaystyle \left\vert f_{i}(x)-f_{i}(y)\right\vert =c_{i}\left\vert x-y\right\vert }$

が任意の x, y ∈ ℝⁿ について成り立つとき、f_i は相似縮小変換などと呼ばれる[61]。定数 c は縮小率と呼ばれる[62]。すなわち、f_i は縮小、回転、平衡移動、反転などの変換を組み合わせて、ℝⁿ 上の部分集合を幾何学的に相似な集合に写す線形変換である[63]。

以上のように、縮小写像が相似縮小変換でなおかつ開集合条件を満たすとき、その縮小写像の組から定まる自己相似集合 U のハウスドルフ次元は

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(c_{i})^{s}=1}$

を満たす s と等しいことが定理として成り立つ[64]。この定理より、多くの自己相似フラクタルのハウスドルフ次元が求まる[65]。カントールの3進集合は m = 2, c₁ = 1/3, c₂ = 1/3 という開集合条件を満たす相似縮小変換で構成できるため、上記の定理からハウスドルフ次元 log 2/log 3 を求めることもできる[66]。

縦・横・高さという直感的な次元は位相次元と呼ばれる[79]。上で述べたように、A が ℝⁿ 上の滑らかな m 次元多様体であれば、dim_H(A) = m であるので、ハウスドルフ次元は位相次元と矛盾しない拡張となっている[38]。位相次元と呼ばれるものは正確には被覆次元、大きな帰納的次元、小さな帰納的次元の3つがあるが、ユークリッド空間上では3者は常に一致する[5]。以下、 ℝⁿ 上の集合 X の位相次元を dim_T(X) と表す。

位相次元 dim_T(X) とハウスドルフ次元 dim_H(X) は一致することもあれば、異なることもある[80]。例えば、線分の dim_T(X) と dim_H(X) は共に 1 で、正方形の dim_T(X) と dim_H(X) は共に 2 である[81]。このような単純な図形では dim_T(X) と dim_H(X) は一致するが、図形が複雑になると相異なってくる[81]。しかし一般的な関係として、任意の集合 X の位相次元とハウスドルフ次元は

${\displaystyle \dim _{T}(X)\leq \dim _{H}(X)}$

という関係が成り立つ[80]。例えば、カントールの3進集合 C は dim_H(C) = log 2/log 3 = 0.6309… だが、dim_T(C) = 0 である[82]。

フラクタルの提唱者であるブノワ・マンデルブロ自身のフラクタルの定義は、ハウスドルフ次元が位相次元よりも高い集合（図形）がフラクタルとされる[83]。ただし、マンデルブロも述べているように、このフラクタルの定義は確定的ではない[84]。「フラクタル次元」という言葉はしばしば曖昧に用いられ、定義が与えられずに用いられたり、使う人によっては定義が異なったりするが[85]、一つの考え方としては非整数値を取る次元をフラクタル次元と呼ぶ[86][87]。マンデルブロはハウスドルフ次元のことをフラクタル次元と言い換えており[88]、文献によってはフラクタル次元とはハウスドルフ次元を指す[89]。

グレートブリテン島の海岸線をボックス次元で測る様

ハウスドルフ次元は数値の具体的な計算が難しいという欠点がある[90]。これに対し、被覆する集合の直径を全て同じとしたのがボックス次元と呼ばれる次元で、ハウスドルフ次元よりも数学的には扱いにくいが計算は容易である[91]。ボックス次元には同値な定義がいくつかあるが[92]、集合 X に対して

${\displaystyle {\underline {\dim }}_{B}(X)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\inf {\dfrac {\log N_{\delta }(X)}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}$

${\displaystyle {\overline {\dim }}_{B}(X)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\sup {\dfrac {\log N_{\delta }(X)}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}$

とおいて、

${\displaystyle {\underline {\dim }}_{B}(X)={\overline {\dim }}_{B}(X)={\dim }_{B}(X)}$

が成り立つとき、dim_B(X) を X のボックス次元という[93]。ここで、δ は X を被覆する開被覆の直径、N_δ(X) は X を被覆するのに必要な δ 開被覆の最小個数を表す[93]。ハウスドルフ次元とボックス次元には、一般的に

${\displaystyle \dim _{H}(X)\leq {\underline {\dim }}_{B}(X)\leq {\overline {\dim }}_{B}(X)}$

あるいは

${\displaystyle \dim _{H}(X)\leq \dim _{B}(X)}$

という関係が成り立つ[94]。

線分・正方形・立方体は、それ自体の中に 1/r 倍のコピーがそれぞれ r¹, r², r³ 個ある

コッホ曲線は、それ自体の中に 1/3 倍のコピーが 4 個ある

上記の#自己相似集合の場合に求められる次元 s は、相似次元とも呼ばれる[95]。相似次元は自己相似性の観点から得られる[96]。例えば、ある線分を 1/3 倍したコピーを考えると、元の線分はそのコピー 3 = 3¹ 個から成り立っている。また、ある正方形を 1/3 倍したコピーを考えると、元の正方形はそのコピー 9 = 3² 個から成り立っている。そして、ある立方体を 1/3 倍したコピーを考えると、元の立方体はそのコピー 27 = 3³ 個から成り立っている。線分、正方形、立方体のそれぞれの次元 1, 2, 3 は、コピーの個数の指数として現れている。これを一般化すると、c 倍したコピーを考えると元の図形はそのコピーの m 個から成り立つとき、次元 s と c と m のあいだには

${\displaystyle N=\left({\frac {1}{c}}\right)^{s}}$

という関係がある[97]。よって次元 s は

${\displaystyle s={\frac {\log N}{\log(1/c)}}}$

と定義でき、これを相似次元と呼ぶ[98]。

一般的な相似次元は、縮小写像の m 個の組 f₁, f₂, …, f_m : ℝⁿ → ℝⁿ が与えられたときに、これに対応する自己相似集合に対して、それぞれの縮小率 c_i (i = 1, 2, … m) から

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(c_{i})^{s}=1}$

を満たす s の正の値によって与えられる[99]。自己相似集合を X として、その相似次元を dim_S(X) と表すとする。上記のとおり、縮小写像が相似縮小変換でなおかつ開集合条件を満たすとき、その自己相似集合のハウスドルフ次元と相似次元には

${\displaystyle \dim _{H}(X)=\dim _{S}(X)}$

という関係がある[63]。また、相似縮小変換かつ開集合条件という条件を付与しない一般的な自己相似集合については、ハウスドルフ次元と相似次元の関係は次のようになる[99]。

${\displaystyle \dim _{H}(X)\leq \dim _{S}(X)}$