ド・ロンシャン点

ド・ロンシャン点（ド・ロンシャンてん、de Longchamps Point）は、幾何学用語のひとつ。三角形の外心に対して、垂心と対称な点のこと。また、反中点三角形の垂心と定義することもできる[1]。

垂心(H)と外心(O)とド・ロンシャン点(L)

性質

外心に対して垂心と対称の位置にある。即ち、この点はオイラー線上にある。
中心をBC,CA,ABの中点とし、それぞれA,B,Cを通る円の根心円（ド・ロンシャン円）の中心（根心）である[2]。ド・ロンシャンの論文では、これを定義としている。
内心とジェルゴンヌ点を結ぶ直線（ソディ線）上にある。
4面が合同な四面体において、1つの頂点から対面に下ろした垂線はド・ロンシャン点を通る。
AL²-BC²=BL²-AC²=CL²-AB²
九点円と同心で、外接円半径の3/2の半径を持つ円をシュタイナー円という。外接円とシュタイナー円の相似中心はド・ロンシャン点である。
クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX₂₀として登録されており、重心座標は以下の式で表される[3]。
$\tan B+\tan C-\tan A:\tan C+\tan A-\tan B:\tan A+\tan B-\tan C$
ダルブ―三次曲線の「Pivot Point」である。

脚注

Weisstein, Eric W.. “de Longchamps Point” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月30日閲覧。
Weisstein, Eric W.. “de Longchamps Circle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月30日閲覧。
“ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS　X(20)”. faculty.evansville.edu. 2024年3月30日閲覧。

関連項目

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