三次曲線

詳しくは「ノイベルグ三次曲線」を参照

△ABCのノイベルグ三次曲線 Xを辺BC, CA, ABで鏡映した点をX_A, X_B, X_CとしAX_A, BX_B, CX_Cが一点で交わるようなXの軌跡である。

三線座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0}$

重心座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

ノイベルグ三次曲線はX*が直線EX上(Eはオイラー無限遠点X(30),オイラー線方向の無限遠点)にあるような点Xの軌跡、つまりXX*がオイラー線と平行になるような点の軌跡である。Xを辺BC, CA, ABで鏡映した点をX_A, X_B, X_Cとし、△X_AX_BX_Cと△ABCが配景的(en)なXの軌跡とも定義される。

ノイベルグ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、フェルマー点、等力点、オイラー無限遠点などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle PlaneではK001と登録されている。

詳しくは「トムソン三次曲線」を参照

トムソン三次曲線(黒い線)トムソン三次曲線上のX ,X*,X(2)(重心)は共線である。

三線座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0}$

重心座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

トムソン三次曲線はX*が直線GX(Gは重心)上にあるような点Xの軌跡である。

トムソン三次曲線は頂点、内心と傍心、重心、外心、垂心、類似重心、辺の中点などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle PlaneではK002 として登録されている。

ダルブー三次曲線、 XのBC, CA, ABに対する垂足三角形が元の三角形と配景的であるようなXの軌跡

三線座標:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0}$

重心座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

ダルブー三次曲線はX*が直線LX上(Lはド・ロンシャン点)にあるような点Xの軌跡である。ダルブー三次曲線上のXの垂足三角形はチェバ三角形で、チェバ三角形の元の点はルーカス三次曲線を成す。また、X の垂足三角形はXの反チェバ三角形と配景的で、その配景の中心はトムソン三次曲線を成す。

ダルブー三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ドロンシャン点、頂点の外接円に対する対蹠点などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K004 として登録されている。

三線座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0}$

重心座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線はX*が直線NX 上(N = X(5),九点円の中心)にある点Xの軌跡である。

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ナポレオン点などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K005 として登録されている。

ルーカス三次曲線 、 Xののチェバ三角形 がダルブー三次曲線上の点の垂足三角形となるような点Xの軌跡。

三線座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0}$

重心座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0}$

ルーカス三次曲線はX のチェバ三角形がダルブ―三次曲線上の点の垂足三角形となるような点Xの軌跡である。

ルーカス三次曲線は頂点、反中点三角形の頂点、シュタイナー外接楕円の焦点、重心、垂心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ド・ロンシャン点 などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle PlaneではK007 として登録されている。

第一ブロカール三次曲線、第一ブロカール三角形を△A'B'C' とし、XA', XB', XC'とBC, CA, CB,のそれぞれの交点が共線であるような点Xの軌跡。

三線座標:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0}$

重心座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0}$

△A'B'C' を第一ブロカール三角形、X_A, X_B, X_C.をそれぞれXA′, XB′, XC′と BC, CA, AB,の交点とする。このときX_A, X_B, X_Cが共線となるような点Xの軌跡を第一ブロカール三次曲線と言う。

第一ブロカール三次曲線は頂点、第一,第三ブロカール点の頂点、重心、類似重心、シュタイナー点などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K017として登録されている。

三線座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0}$

重心座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0}$

第二ブロカール三次曲線は直線XX*の、X,X*を通る外接円錐曲線に対する極がブロカール軸上にあるような点Xの軌跡である。頂点、重心、類似重心、フェルマー点、等力点、パリー点、第二,第四ブロカール三角形の頂点を通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K018として登録されている。

第一等積三次曲線:X のチェバ三角形とX*のチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡。

三線座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0}$

重心座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

第一等積三次曲線はX のチェバ三角形とX*のチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡である。X*が直線S*X 上(S = X(99),シュタイナー点)にあるような点Xの軌跡とも定義される。

第一等積三次曲線は内心と傍心、シュタイナー点 、第一,第二ブロカール点を通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K021として登録されている。

三線座標: ${\displaystyle (bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)}$

重心座標:${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0}$

第ニ等積三次曲線は三線座標で ${\displaystyle X=x:y:z}$ , ${\displaystyle X_{Y}=y:z:x}$, ${\displaystyle X_{Z}=z:x:y.}$ とし、X_YとX_Zのチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡である。

第ニ等積三次曲線は内心、重心、類似重心 X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(672), X(1453), X(1931), X(2053)などを通る

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K155として登録されている。