フォンテーネの定理

幾何学において、フォンテーネの定理（フォンテーネのていり、英:fontené theorems,fontene's theorems）は、垂足円に関する3つの定理の総称である[1][2]。フランスの数学者ジョージ・フォンテーネにちなんで名付けられた[3]。

第一フォンテーネの定理

第一フォンテーネの定理

$△ ABC$ と点 $P$ について、その中点三角形を $△A'B'C'$ 、 $P$ の垂足三角形を $△XYZ$ とする。また、 $YZ$ と $B'C'$ 、 $ZX$ と $C'A'$ 、 $XY$ と $A'B'$ の交点をそれぞれ $D,E,F$ とすると、 $DX,EY,FZ$ は九点円上で交わる。これを第一フォンテーネの定理と言う[4]。

第二フォンテーネの定理

第二フォンテーネの定理

外心を通る直線 $l$ 上の点の垂足円は、九点円上の定点を通る。これを第二フォンテーネの定理と言う。グリフィスの定理とも呼ばれる。また、この定点は $l$ に対するグリフィス点(the Griffiths point)と呼ばれる。グリフィス点は、 $l$ 上の点の等角共役点の軌跡である外接円錐双曲線の中心と一致する[5]。

第三フォンテーネの定理

三角形と点 $P$ について、 $P$ の等角共役点を $P*$ とする。 $P$ と $P*$ と外心が同一直線上にあることと、 $P$ の垂足円と九点円が接することは同値である。これを、第三フォンテーネの定理と言う[6]。接点はフォンテーネ点(Fontene point)と呼ばれる[5]。フォイエルバッハの定理とフォイエルバッハ点はこの定理の特別な場合である。また、 $P$ と $P*$ と外心が共線であるような $P$ の軌跡はマッケイ三次曲線である。

出典

Weisstein, Eric W.. “Fontené Theorems” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月13日閲覧。
“Fontene theorems and some corollaries”. Linh Nguyen Van. 2024年4月13日閲覧。
“Fontené Theorems - ProofWiki”. proofwiki.org. 2024年4月13日閲覧。
“Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle, by Roger A. Johnson ... under the editorship of John Wesley Young ...” (英語). HathiTrust. 2024年5月16日閲覧。
“Pedals of the Poncelet Pencil and Fontene Points”. Roger C. Alperin. 2024年4月20日閲覧。
Lowell Coolidge Julian. (1916). A Treatise On The Circle And The Sphere. Osmania University, Digital Library Of India. Oxford At The Clarendon Press.

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[1] Weisstein, Eric W.. “Fontené Theorems” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月13日閲覧。

[2] “Fontene theorems and some corollaries”. Linh Nguyen Van. 2024年4月13日閲覧。

[3] “Fontené Theorems - ProofWiki”. proofwiki.org. 2024年4月13日閲覧。

[4] “Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle, by Roger A. Johnson ... under the editorship of John Wesley Young ...” (英語). HathiTrust. 2024年5月16日閲覧。

[:0-5] “Pedals of the Poncelet Pencil and Fontene Points”. Roger C. Alperin. 2024年4月20日閲覧。

[6] Lowell Coolidge Julian. (1916). A Treatise On The Circle And The Sphere. Osmania University, Digital Library Of India. Oxford At The Clarendon Press.