フールマン円

ユークリッド幾何学において、フールマン円(ふーるまんえん、英: Fuhrmann circle)とはドイツの数学者ヴィルヘルム・フールマンにちなんで名づけられた、ナーゲル点 $N$ と垂心 $H$ を直径とする円である。またフールマン三角形の外接円でもある[1]。フールマン円の中心は「Encyclopedia of Triangle Centers」においてX(355)として登録されている[2]。

フールマン円

フールマン円とフールマン三角形（赤色）。

N

および

H

はそれぞれナーゲル点と垂心を表し、元の三角形の内接円の半径を

r

とするとき、

|AP_{a}|=|BP_{b}|=|CP_{c}|=2r

が成り立つ。

任意の三角形について、その辺長をそれぞれ a,b,c、内角をそれぞれ A,B,C、半周長をs、外接円の半径をR、内接円の半径をrとすると、フールマン円の半径 $R_{F}$ は

{\begin{aligned}R_{F}&={\sqrt {R(R-2r)}}\\&=R{\sqrt {3-2(\cos A+\cos B+\cos C)}}\\&=R{\sqrt {1-{\frac {8(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}}}}\\&={\sqrt {{\frac {abc\,}{2s}}\left\{{\frac {abc\,}{8(s-a)(s-b)(s-c)}}-1\right\}}}\\\end{aligned}}

である。これはオイラーの定理により、外心と内心の距離と等しい。

また、垂心でないほうの、各頂垂線とフールマン円との交点について、同一頂垂線上に在る各頂点との距離が内接円の直径と等しくなる。

フールマン円の中心と内心の中点は九点円の中心である[3]。

一般化

$△ ABC$ について点 $P$ の外周三角形を $△ A'B'C'$ とする。また、 $A',B',C'$ をそれぞれ $BC,CA,AB$ で鏡映した点を $P a,P b,P c$ とする。 $△P a P b P c$ の外接円を $P$ のヘギー円（ $P$ -Hagge circle）または $P$ のフールマン円（ $P$ -Fuhrmann circle）と言う[4][5]。名称はカール・ヘギーに由来する。 $P$ が内心のとき、ヘギー円はフールマン円となる。フールマン円と同様、ヘギー円は以下の性質を満たす[6]。

ヘギー円は垂心を通る。
$P$ の等角共役点 $P*$ と $P$ のヘギー円の中心の中点は、九点円の中心である。
ヘギー円の半径は $P*$ と外心の距離に等しい。
垂心のヘギー円に対する対蹠点、重心、 $P*$ は共線である。
$P$ フールマン三角形の外接円である。

注釈

Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).
“Encyclopedia of Triangle Centers”. エヴァンズビル大学. 2024年3月13日閲覧。
“The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle”. Forum Geometricorum. 2024年3月26日閲覧。
“The Hagge Circle - Wolfram Demonstrations Project”. demonstrations.wolfram.com. 2024年3月31日閲覧。
“On a Construction of Hagge”. Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith. 2024年4月1日閲覧。
“The Story of Hagge and Speckman”. Christopher J Bradley. 2024年4月1日閲覧。

参考文献

Nguyen Thanh Dung: "The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle". Forum Geometricorum, Volume 16 (2016), pp. 299–311.
J. A. Scott: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Volume 86, No. 506 (Jul., 2002), pp. 326–328 (JSTOR)

外部リンク

Doug Westmoreland. “Fuhrmann circle”. the University of Georgia. 2024年3月21日閲覧。
Weisstein, Eric W. "Fuhrmann Circle". mathworld.wolfram.com (英語).

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[1] Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).

[2] “Encyclopedia of Triangle Centers”. エヴァンズビル大学. 2024年3月13日閲覧。

[3] “The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle”. Forum Geometricorum. 2024年3月26日閲覧。

[4] “The Hagge Circle - Wolfram Demonstrations Project”. demonstrations.wolfram.com. 2024年3月31日閲覧。

[5] “On a Construction of Hagge”. Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith. 2024年4月1日閲覧。

[6] “The Story of Hagge and Speckman”. Christopher J Bradley. 2024年4月1日閲覧。