プラソロフ点

ユークリッド幾何学において、プラソロフ点（プラソロフてん、英:Prasolov point）は、三角形の中心の一つである。クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(68)として登録されている[1]。名称はロシアの数学者、ヴィクトル・ヴァシーリエヴィッチ・プラソロフが著書「Задачи по планиметрии」（面積測定の問題）で証明したことに由来する。

定義

第二オイラー三角形

△H' a H' b H' c

:垂足三角形を九点円の中心で鏡映した三角形、プラソロフ点:元の三角形と第二オイラー三角形の配景の中心

$△ ABC$ について、九点円の中心を $N$ 、垂足三角形を $△H a H b H c$ とする。また、 $H a,H b,H c$ をそれぞれ $N$ で鏡映した点を $H' a,H' b,H' c$ とする。 $△ ABC$ と $△H' a H' b H' c$ （第二オイラー三角形,2nd Euler triangle[2]）の配景の中心、つまり $AH' a,BH' b,CH' c$ の交点をプラソロフ点という[3]。

性質

$H a,H b,H c$ を中心とし、それぞれ $A,B,C$ を通る円の根心はプラソロフ点である[1]。
$△ DEF$ を外心の外周三角形、 $D,E,F$ をそれぞれ $BC,CA,AB$ で鏡映した点を $D',E',F'$ とする。 $△ ABC$ と $△ D'E'F'$ （外心フールマン三角形）の配景の中心はプラソロフ点である。
九点円の中心、類似重心と共線である。
垂足三角形の垂足三角形と元の三角形の配景の中心X(24)の等角共役点である。X(24)はオイラー線上にある。
ジェラベク双曲線上にある[4]。
プラソロフ点の重心座標は以下の式で表される。

\tan 2A:\tan 2B:\tan 2C

出典

“ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X68”. faculty.evansville.edu. 2024年3月30日閲覧。
“Index of triangles”. faculty.evansville.edu. 2024年4月25日閲覧。
Weisstein, Eric W. "Prasolov Point". mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola". mathworld.wolfram.com (英語).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[:0-1] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X68”. faculty.evansville.edu. 2024年3月30日閲覧。

[2] “Index of triangles”. faculty.evansville.edu. 2024年4月25日閲覧。

[3] Weisstein, Eric W. "Prasolov Point". mathworld.wolfram.com (英語).

[4] Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola". mathworld.wolfram.com (英語).