ミッテンプンクト

幾何学において、ミッテンプンクト(英:Mittenpunkt)とは三角形のユークリッド変換(英語版)について不変である三角形の中心である。ドイツ語で中心点を意味する言葉に由来する。1836年、ナーゲルによって傍心三角形の類似重心であることが発見された[1][2]。

赤い線はマンダルト楕円(その中心はミッテンプンクト)。青い線は傍心三角形の類似中線。緑の線は中界線(英語版)、ナーゲル点で交わる。

座標

ミッテンプンクトの三線座標は以下の式で与えられる[1][3]。

(b+c-a):(c+a-b):(a+b-c)

=\cot {\frac {A}{2}}:\cot {\frac {B}{2}}:\cot {\frac {C}{2}}

=\csc A+\cot A:\csc B+\cot B:\csc C+\cot C

ここで $a$ , $b$ , $c$ は三角形の辺の長さで、 $A$ , $B$ , $C$ は角の大きさである。

重心座標では以下の様に与えられる[3] 。 $a(b+c-a):b(c+a-b):c(a+b-c)=(1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos C).$

ミッテンプンクトは重心とジェルゴンヌ点を結ぶ直線、内心と類似重心を結ぶ直線、垂心とシュピーカー点を結ぶ直線の交点である[4]。

Kimberling, Clark (1994), “Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle”, Mathematics Magazine 67 (3): 163–187, doi:10.2307/2690608, JSTOR 2690608, MR 1573021, https://jstor.org/stable/2690608
v. Nagel, C. H. (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise, Leipzig
“ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年3月20日閲覧。
“The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry”. Paul Yiu. 2024年3月20日閲覧。
Eddy, Roland H. (1989), “A Desarguesian dual for Nagel's middlespoint”, Elemente der Mathematik 44 (3): 79–80, MR 999636, http://eudml.org/doc/141457.
Weisstein, Eric W.. “Gergonne Line” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月20日閲覧。
Gibert, Bernard (2004), “Generalized Mandart conics”, Forum Geometricorum 4: 177–198, MR 2130231.

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