伊藤の補題

確率過程 ${\displaystyle Y_{t}}$ の区間 ${\displaystyle [0,t]}$ におけるウィーナー過程 ${\displaystyle B_{t}}$ に関する積分を

${\displaystyle \int _{0}^{t}Y_{s}\,dB_{s}=\sum _{i=1}^{n-1}Y(t_{i-1})(B(t_{i})-B(t_{i-1}))+Y(t_{n-1})(B(t)-B(t_{n-1}))}$

の分割 ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=t}$ を細かくした極限で定義する。 関数 ${\displaystyle Y_{t}}$ は、よい性質（可測で、${\displaystyle B_{t}}$ が適合する増大情報系に適合し、局所二乗可積分）を持っているものとする。 一見、リーマン積分と似た定義である。しかし、区間 ${\displaystyle t_{i-1}\leq t<t_{i}}$ のどの ${\displaystyle t}$ で ${\displaystyle Y(t)}$ を評価してもリーマン積分は定義できるのに対し、伊藤積分は区間の左端 ${\displaystyle Y(t_{i-1})}$ を用いる。 この和は、分割の仕方によらず、分割を小さくする極限で一定の値に収束することが示される [1]。

この積分のいわば逆計算として、確率過程の微分 ${\displaystyle dB_{t}}$ が定義できる。 二次の微分 ${\displaystyle dB_{t}dB'_{t}}$ は

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(B(t_{i})-B(t_{i-1}))(B'(t_{i})-B'(t_{i-1}))\qquad \qquad \qquad \qquad (1)}$

の分割 ${\displaystyle {t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{m}}}$ を細かくした極限で定義する[2]。

伊藤の公式は、${\displaystyle h(t,x)}$ の二次までのテイラー展開に

1. ${\displaystyle (dB_{t})^{2}=dt}$
2. ${\displaystyle dB_{t}dt=0}$
3. ${\displaystyle (dt)^{2}=0}$

を適用して得られる形をしている。 伊藤ルールを用いると、次のような計算が出来る。

${\displaystyle de^{B_{t}^{2}}=2B_{t}e^{B_{t}^{2}}dB_{t}+(e^{B_{t}^{2}}+2B_{t}^{2}e^{B_{t}^{2}})dt}$

上記の確率過程を含む二回微分の定義(1) を用いる。 第一式[4]は

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{m}(B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2}}$

と置くと、${\displaystyle S}$ の期待値は

${\displaystyle E(S)=\sum _{i=1}^{m}E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2})}$

である。 ウィーナー過程の性質により、それぞれの ${\displaystyle B(t_{i})-B(t_{i-1})}$ は独立だから${\displaystyle S}$ の分散は

${\displaystyle V(S)=\sum _{i=1}^{m}V((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2})=\sum _{i=1}^{m}E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{4})-(E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2}))^{2}}$

である。

ウィーナー過程の性質により、 ${\displaystyle B(t_{i})-B(t_{i-1})}$ は平均 0 分散 ${\displaystyle t_{i}-t_{i-1}}$ の 正規分布に従う。すなわち、 ${\displaystyle E(B(t_{i})-B(t_{i-1}))=0}$、${\displaystyle E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2})=t_{i}-t_{i-1}}$、 ${\displaystyle E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{4})=3(t_{i}-t_{i-1})^{2}}$ となるから結局 ${\displaystyle E(S)=t}$ であり、分割を細かくする極限で

${\displaystyle V(S)=2\sum _{i}(t_{i}-t_{i-1})^{2}\leq 2\max(t_{i}-t_{i-1})\sum _{i}(t_{i}-t_{i-1})=2\max(t_{i}-t_{i-1})t\to 0}$ となる。

チェビシェフの不等式を用いれば、${\displaystyle S}$ は ${\displaystyle E(S)=t}$ に(確率の意味で)収束することが示される。

第二式は

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(t_{i}-t_{i-1})(B(t_{i})-B(t_{i-1}))\leq t\max(B(t_{i})-B(t_{i-1}))}$

と評価されて、${\displaystyle B(t)}$ は連続であるから分割を細かくすると右辺が 0 に収束する。

第三式は

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(t_{i}-t_{i-1})^{2}\leq m{\frac {t^{2}}{m^{2}}}\to 0}$

と評価される。