幾何ブラウン運動

次の確率微分方程式にしたがう確率過程 ${\displaystyle S_{t}}$ を幾何ブラウン運動という。

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dB_{t}}$

ここで、

dS_t は増分。例：運用資産（S）の増減額。

dB_t はブラウン運動（ウィーナー過程）の増分。

μ は（現在の S_t に対する割合であらわした）ドリフト。金融の場合は期待収益率[3]。

σ は（現在の S_t に対する割合であらわした）ボラティリティ。

${\displaystyle \mu S_{t}\,dt}$ はドリフト項と呼ばれ決定論的なトレンドを表現し、${\displaystyle \sigma S_{t}\,dB_{t}}$ は予測不可能な出来事を表現している。${\displaystyle \sigma =0}$ の場合は、${\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{\mu t}}$ である。

上記の確率微分方程式は伊藤の公式をもちいて次のように書き換えることができる。

${\displaystyle d\log {S_{t}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\,dt+\sigma \,dB_{t}}$

ブラウン運動 B_t を非整数ブラウン運動 B_H,t にまで拡張した時の確率微分方程式は

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dB_{H,t}}$

となる。ここで、dB_H,t はハースト指数 H の非整数ブラウン運動の増分。

解は、

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2H}+\sigma B_{H,t}\right),}$

となる。[4]

• ブラック–ショールズ方程式
• 確率的ボラティリティモデル
• 非整数ブラウン運動

確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ ジョゼフ・L・ドゥーブ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
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問題	壺問題 クーポンコレクター問題
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確率微分方程式	伊藤の補題
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