判別式

ここでは、文献[4]に掲載されている方法により証明する。

（証明）

${\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$

${\displaystyle =(-1)^{n(n-1)/2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})}$

${\displaystyle =(-1)^{n(n-1)/2}\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}\prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})\quad \cdots \ (1)}$

${\displaystyle f(x)=a_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n}(x-\alpha _{j})}$

${\displaystyle f'(x)=a_{n}\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}\prod \limits _{j(j\neq k)}(x-\alpha _{j})}$

${\displaystyle f'(\alpha _{i})=a_{n}\textstyle \prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})\quad \cdots \ (2)}$

ここで、f'(x) = 0 の根を β₁, …, β_n−1 とする。

${\displaystyle f'(x)=na_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n-1}(x-\beta _{j})}$

${\displaystyle f'(\alpha _{i})=na_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n-1}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (3)}$

(2) = (3) より、a_n ≠ 0 に注意して

${\displaystyle \textstyle \prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})=n\prod \limits _{j=1}^{n-1}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (4)}$

(4) を (1) に代入すると、

${\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}n^{n}\prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (5)}$

ここで、終結式においてよく知られている、次の等式を使う。

f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ (a_n ≠ 0) の根を α₁, …, α_n,

g(x) = b_mx^m + b_m−1x^m−1 + … + b₁x + b₀ (b_m ≠ 0) の根を β₁, …, β_m

とすると、次が成り立つ：

${\displaystyle {a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}}$

（対角成分に a_n が m個、b₀ が n個）

この等式を f, f' に適用すると、

${\displaystyle {a_{n}}^{n-1}(na_{n})^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})}$

${\displaystyle ={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}\quad \cdots \ (6)}$

(5), (6) より、

${\displaystyle {a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$

${\displaystyle ={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}\ \blacksquare }$

二次方程式を

f(x) = ax² + bx + c = 0

とおく。

f'(x) = 2ax + b

${\displaystyle {\begin{aligned}D=&\;{\frac {(-1)^{2\cdot (2-1)/2}}{a}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\2a&b&\\&2a&b\end{vmatrix}}\\=&\;-{\begin{vmatrix}1&b&c\\2&b&\\&2a&b\end{vmatrix}}\quad ({\mbox{expand by Sarrus' rule}})\\=&\;-\{(b^{2}+4ac)-2b^{2}\}\\=&\;b^{2}-4ac\quad //\end{aligned}}}$

二次方程式 f(x) = ax² + bx + c = 0 において、特に b が 2 を因数に持つ場合、

b = 2b'

とおくと、

${\displaystyle {\frac {D}{4}}=b'^{2}-ac}$

となる[5]。

二次方程式の係数が実数である場合に、実数解の個数を判定するのによく用いられる。

三次方程式を

f(x) = x³ + px + q = 0

とおく。

f'(x) = 3x² + p

${\displaystyle {\begin{aligned}D=&\;{\frac {(-1)^{3\cdot (3-1)/2}}{1}}{\begin{vmatrix}1&0&p&q&\\&1&0&p&q\\3&0&p&&\\&3&0&p&\\&&3&0&p\end{vmatrix}}\\&\\&({\mbox{eliminate 3rd row by 1st row, 4th row by 2nd row}})\\&\\=&\;-{\begin{vmatrix}1&0&p&q&\\&1&0&p&q\\0&0&-2p&-3q&\\&0&0&-2p&-3q\\&&3&0&p\end{vmatrix}}\\=&\;-{\begin{vmatrix}-2p&-3q&\\0&-2p&-3q\\3&0&p\end{vmatrix}}\quad ({\mbox{expand by Sarrus' rule}})\\=&\;-(4p^{3}+27q^{2})\quad //\end{aligned}}}$

一般の三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 の判別式は

${\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}$

である。

二次方程式

f(x) = ax² + bx + c = 0

の解には、判別式 Δ が含まれる：

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$

係数 a, b, c が実数の場合：

• Δ > 0 のとき、f(x) = 0 は異なる 2 個の実数解をもつ。
• Δ = 0 のとき、f(x) = 0 は 1 個の重複する実数解をもつ。
  • 重解は ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$
• Δ < 0 のとき、f(x) = 0 は1組の共役虚数解をもつ。
  • 虚数解は ${\displaystyle x={\frac {-b\pm i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}}$

より一般に、実数係数の n次代数方程式に対して、

• Δ > 0：${\displaystyle 0\leq k\leq {\frac {n}{4}}}$ なるある整数 k に対して、2k対の共役虚数解と (n − 4k)個の実数解があり、全て異なる；
• Δ < 0：${\displaystyle 0\leq k\leq {\frac {n-2}{4}}}$ なるある整数 k に対して、(2k + 1)対の共役虚数解と (n − 4k − 2)個の実数解があり、全て異なる；
• Δ = 0：少なくとも 1個の重解が存在する。実数係数であっても、重根は実数であるとは限らず、虚数の場合もある。

二元二次方程式

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

で表される平面幾何における円錐曲線に対して、判別式は[6]

${\displaystyle B^{2}-4AC}$

に等しく、円錐曲線の形を決定する。判別式が 0 よりも小さければ、楕円か円の方程式である。判別式が 0 に等しければ、放物線の方程式である。判別式が 0 よりも大きければ、双曲線の方程式である。この公式は退化の場合（多項式が分解するとき）働かない。

判別式は、標数 ≠ 2 の任意の体 K 上の二次形式 Q へ実質的に一般化できる。標数 2 に対しては、対応する不変量はアーフ不変量である。

二次形式 Q が与えられたとき、その判別式 (discriminant) または行列式 (determinant) は Q の対称行列 S の行列式である[7]。

行列 A による変数変換で対称行列は ${\displaystyle A^{T}SA}$ に変わるが、この行列式は ${\displaystyle (\det A)^{2}\det S}$ なので、変数変換において判別式は 0 でない平方によって変化し、したがって判別式の類は K/(K^*)² において well-defined である。すなわち、0 でない平方を除いて定まる。平方剰余も参照。

あまり直観的でないが、（二次形式に関する）ヤコビの定理によって、${\displaystyle K^{n}}$ 上の二次形式は変数の線型変換の後、

${\displaystyle a_{1}{x_{1}}^{2}+\cdots +a_{n}{x_{n}}^{2}}$

として対角形式 (diagonal form) で表現できる。より正確には、V 上の二次形式を和

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{L_{i}}^{2}}$

として表現できる、ここで L_i は独立な線型形式であり n は変数の数である（a_i のいくつかは 0 でもよい）。すると判別式は a_i の積であり、これは K/(K^*)² における類として well-defined である。

K=R（実数体）に対して、(R^*)² は正の実数全体であり（任意の正数は 0 でない数の平方である）、したがって商 R/(R^*)² は 3 つの元、正、0、負を持つ。これは符号 (n₀, n₊, n₋) よりも粗い不変量である。ここで n₀ は対角形式における 0 の数であり n_± は ±1 の数である。すると判別式は、形式が退化 (${\displaystyle n_{0}>0}$) であれば 0 であり、そうでなければ負の係数の数のパリティ ${\displaystyle (-1)^{n_{-}}}$ である。

K=C （複素数体）に対して、(C^*)² は 0 でない複素数であり（任意の複素数は平方である）、したがって商 C/(C^*)² は 2 つの元、非零と零からなる。

この定義は二次多項式の判別式に一般化される。多項式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ を斉次化すると二次形式 ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ になり、これは対称行列

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{bmatrix}}}$

で表現され、この行列式は ${\displaystyle ac-(b/2)^{2}=ac-b^{2}/4}$ である。−4倍の違いを除いて ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ と一致する。

実形式の判別式の類の不変量（正、0、負）は、実形式が対応する円錐曲線楕円、放物線、双曲線にそれぞれ対応する。