半角正接置換

三角関数の加法定理と相互法則から、

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {2\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)}{\sin ^{2}(\theta /2)+\cos ^{2}(\theta /2)}}={\frac {2\tan(\theta /2)}{\tan ^{2}(\theta /2)+1}}={\frac {2t}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\cos ^{2}(\theta /2)-\sin ^{2}(\theta /2)}{\sin ^{2}(\theta /2)+\cos ^{2}(\theta /2)}}={\frac {1-\tan ^{2}(\theta /2)}{\tan ^{2}(\theta /2)+1}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$

また t を θ で微分して、

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\theta }}={\frac {1}{2\cos ^{2}(\theta /2)}}={\frac {1+\tan ^{2}(\theta /2)}{2}}={\frac {1+t^{2}}{2}}}$

より、

${\displaystyle {\rm {d}}\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t}$

半角正接置換の幾何的解釈。

半角正接置換は、幾何的に解釈することも可能である。たとえば、右図のように単位円 x² + y² = 1 を設定し、座標 (−1, 0) を通過する傾き t の直線を考える。また、この直線と単位円の交点のうち、(−1, 0) でない方を (cos θ, sin θ) とおく。するとこのとき t = tan θ/2 であって、連立方程式：

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\y-0=t\,(x+1)\end{cases}}\qquad {\rm {where}}\quad x\neq -1}$

が成り立つ。これを x 、y について解けば、

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}}$

すなわち、

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}}}$

が導かれる。

次の積分：

${\displaystyle I=\int \csc x\,{\rm {d}}x=\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sin x}}}$

を解くことを考える。置換 t = tan x/2 を用いれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int \csc x\,{\rm {d}}x=\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sin x}}\\[3pt]&=\int {\frac {1+t^{2}}{2t}}{\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t&t=\tan {\dfrac {x}{2}}\\[3pt]&=\log |t|+C\\[3pt]&=\log {\biggl |}\!\tan {\frac {x}{2}}{\biggr |}+C\end{aligned}}}$

のように求まる。ただし、ここで C は積分定数である。また、この積分は t = tan x/2 と置換せずとも、u = csc x − cot x と置換することによって、

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int \csc x\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {\csc x\,(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {\csc ^{2}x-\cos x}{\csc x-\cot x}}\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {{\rm {d}}u}{u}}&u=\csc x-\cot x\\[3pt]&=\log |u|+C\\[3pt]&=\log |\!\csc x-\cot x|+C\\[3pt]&=\log {\biggl |}\!\tan {\dfrac {x}{2}}{\biggr |}+C&\csc x-\cot x=\tan {\dfrac {x}{2}}\end{aligned}}}$

のように求まる。