原始関数の一覧

本項は、原始関数の一覧（げんしかんすうのいちらん）である。以下、積分定数は $C$ とする。

$ax+b$ を含む積分

\int {\frac {1}{ax+b}}\,dx={\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C

\int {\frac {x}{ax+b}}\,dx={\frac {x}{a}}-{\frac {b}{a^{2}}}\ln \left|ax+b\right|+C

\int {\frac {x^{2}}{ax+b}}\,dx={\frac {1}{2a^{3}}}(a^{2}x^{2}-2abx+2b^{2}\ln \left|ax+b\right|)+C

\int {\frac {1}{x(ax+b)}}\,dx=-{\frac {1}{b}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|+C

\int {\frac {1}{x^{2}(ax+b)}}\,dx={\frac {a}{b^{2}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|-{\frac {1}{bx}}+C

${\sqrt {a+bx}}$ を含む積分

\int x{\sqrt {a+bx}}\,dx={\frac {2}{15b^{2}}}(3bx-2a)(a+bx)^{\frac {3}{2}}+C

\int x^{2}{\sqrt {a+bx}}\,dx={\frac {2}{105b^{3}}}(15b^{2}x^{2}-12abx+8a^{2})(a+bx)^{\frac {3}{2}}+C

\int x^{n}{\sqrt {a+bx}}\,dx={\frac {2}{b(2n+3)}}x^{n}(a+bx)^{\frac {3}{2}}-{\frac {2na}{b(2n+3)}}\int x^{n-1}{\sqrt {a+bx}}dx

\int {\frac {\sqrt {a+bx}}{x}}\,dx=2{\sqrt {a+bx}}+a\int {\frac {1}{x{\sqrt {a+bx}}}}dx

\int {\frac {\sqrt {a+bx}}{x^{n}}}\,dx={\frac {-1}{a(n-1)}}{\frac {(a+bx)^{\frac {3}{2}}}{x^{n-1}}}-{\frac {(2n-5)b}{2a(n-1)}}\int {\frac {\sqrt {a+bx}}{x^{n-1}}}dx,n\neq 1

\int {\frac {1}{x{\sqrt {a+bx}}}}\,dx={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln \left({\frac {{\sqrt {a+bx}}-{\sqrt {a}}}{{\sqrt {a+bx}}+{\sqrt {a}}}}\right)+C,a>0

={\frac {2}{\sqrt {-a}}}\arctan {\sqrt {\frac {a+bx}{-a}}}+C,a<0

\int {\frac {1}{x^{n}{\sqrt {a+bx}}}}\,dx={\frac {-1}{a(n-1)}}{\frac {\sqrt {a+bx}}{x^{n-1}}}-{\frac {(2n-3)b}{2a(n-1)}}\int {\frac {1}{x^{n-1}}}{\sqrt {a+bx}}dx,n\neq 1

$x^{2}\pm {\alpha }^{2}(\alpha \neq 0)$ を含む積分

\int {\frac {1}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx={\frac {1}{\alpha }}\arctan {\frac {x}{\alpha }}+C

\int {\frac {1}{\pm x^{2}\mp \alpha ^{2}}}\,dx={\frac {1}{2\alpha }}\ln \left({\dfrac {x\mp \alpha }{\pm x+\alpha }}\right)+C

$ax^{2}+b$ を含む積分

\int {\frac {1}{ax^{2}+b}}\,dx={\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan {\sqrt {\frac {a}{b}}}x+C

$ax^{2}+bx+c(a\neq 0)$ を含む積分

\int (ax^{2}+bx+c)\,dx={\frac {ax^{3}}{3}}+{\frac {bx^{2}}{2}}+cx+C

${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\;(a>0)$ を含む積分

\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+{\frac {1}{2}}a^{2}\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)+C

\int x^{2}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx={\frac {1}{8}}x(a^{2}+2x^{2}){\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-{\frac {1}{8}}a^{4}\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)+C

\int {\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{x}}\,dx={\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-a\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{x}}\right)+C

\int {\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{x^{2}}}\,dx=\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)-{\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{x}}+C

\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,dx=\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)+C

\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,dx={\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-{\frac {1}{2}}a^{2}\ln \left({\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+x\right)+C

\int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}\,dx={\frac {1}{a}}\ln \left({\frac {x}{a+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}\right)+C

\int {\frac {1}{x^{2}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}\,dx=-{\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{a^{2}x}}+C

${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\;(x^{2}>a^{2})$ を含む積分

\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}\,dx=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\right)+C

${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\;(a^{2}>x^{2})$ を含む積分

\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=\arcsin {\frac {x}{a}}+C=-\arccos {\frac {x}{a}}+C

\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+{\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+C

\int x^{2}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx={\frac {1}{8}}x(2x^{2}-a^{2}){\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+{\frac {1}{8}}a^{4}\arcsin {\frac {x}{a}}+C

\int {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}\,dx={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}-a\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}\right)+C

\int {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}-\arcsin {\frac {x}{a}}+C

\int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}\right)+C

\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=-{\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+{\frac {1}{2}}a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}+C

\int {\frac {1}{x^{2}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}\,dx=-{\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{a^{2}x}}+C

$R={\sqrt {|a|x^{2}+bx+c}}\;(a\neq 0)$ を含む積分

\int {\frac {dx}{R}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln \left(2{\sqrt {a}}R+2ax+b\right)\qquad ({\mbox{for }}a>0)

\int {\frac {dx}{R}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\,\operatorname {arsinh} {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\qquad {\mbox{(for }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}>0{\mbox{)}}

\int {\frac {dx}{R}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln |2ax+b|\quad {\mbox{(for }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}=0{\mbox{)}}

\int {\frac {dx}{R}}=-{\frac {1}{\sqrt {-a}}}\arcsin {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\qquad {\mbox{(for }}a<0{\mbox{, }}4ac-b^{2}<0{\mbox{, }}\left(2ax+b\right)<{\sqrt {b^{2}-4ac}}{\mbox{)}}

\int {\frac {dx}{R^{3}}}={\frac {4ax+2b}{(4ac-b^{2})R}}

\int {\frac {dx}{R^{5}}}={\frac {4ax+2b}{3(4ac-b^{2})R}}\left({\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {8a}{4ac-b^{2}}}\right)

\int {\frac {dx}{R^{2n+1}}}={\frac {2}{(2n-1)(4ac-b^{2})}}\left({\frac {2ax+b}{R^{2n-1}}}+4a(n-1)\int {\frac {dx}{R^{2n-1}}}\right)

\int {\frac {x}{R}}\;dx={\frac {R}{a}}-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{R}}

\int {\frac {x}{R^{3}}}\;dx=-{\frac {2bx+4c}{(4ac-b^{2})R}}

\int {\frac {x}{R^{2n+1}}}\;dx=-{\frac {1}{(2n-1)aR^{2n-1}}}-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{R^{2n+1}}}

\int {\frac {dx}{xR}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\ln \left({\frac {2{\sqrt {c}}R+bx+2c}{x}}\right)

\int {\frac {dx}{xR}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {bx+2c}{|x|{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\right)

三角関数を含む積分

\int \cos x\,dx=\sin x+C

\int -\sin x\,dx=\cos x+C

\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C

\int -\csc ^{2}x\,dx=\cot x+C

\int \sec x\tan x\,dx=\sec x+C

\int -\csc x\cot x\,dx=\csc x+C

\int \tan x\,dx=-\ln(\cos x)+C

\int \cot x\,dx=\ln(\sin x)+C

\int \sec x\,dx=\ln(\sec x+\tan x)+C=\operatorname {gd} ^{-1}x+C\quad \operatorname {gd} ^{-1}x

：グーデルマン関数の逆関数

\int \csc x\,dx=-\ln(\csc x+\cot x)+C=\ln \left({\tan x-\sin x \over \sin x\tan x}\right)+C

\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {1}{n}}\sin ^{n-1}x\cos x+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}x\,dx+C\quad \forall n\geq 2

\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {x}{2}}-{\frac {\sin {2x}}{4}}+C

\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,dx+C\quad \forall n\geq 2

\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {x}{2}}+{\frac {\sin {2x}}{4}}+C

\int \tan ^{n}x\,dx={\frac {1}{n-1}}\tan ^{n-1}x-\int \tan ^{n-2}x\,dx+C\quad \forall n\geq 2

\int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C

\int \cot ^{n}x\,dx={\frac {1}{n-1}}\cot ^{n-1}x-\int \cot ^{n-2}x\,dx+C\quad \forall n\geq 2

\int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C

\int \sec ^{n}x\,dx={\frac {1}{n-1}}\sec ^{n-2}x\tan x+{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}x\,dx+C\quad \forall n\geq 2

\int \csc ^{n}x\,dx=-{\frac {1}{n-1}}\csc ^{n-2}x\cot x+{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}x\,dx+C\quad \forall n\geq 2

逆三角関数を含む積分

\int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C

\int \arccos x\,dx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C

\int \arctan x\,dx=x\arctan x-\ln {\sqrt {1+x^{2}}}+C

\int \operatorname {arccot} x\,dx=x\operatorname {arccot} x+\ln {\sqrt {1+x^{2}}}+C

\int \operatorname {arcsec} x\,dx=x\operatorname {arcsec} x-\ln(x-{\sqrt {x^{2}-1}})+C

\int \operatorname {arccsc} x\,dx=x\operatorname {arccsc} x+\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+C

指数関数を含む積分

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C

\int \alpha ^{x}\,dx={\frac {\alpha ^{x}}{\ln \alpha }}+C

\int xe^{ax}\,dx={\frac {1}{a^{2}}}(ax-1)e^{ax}+C

\int x^{n}e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}x^{n}e^{ax}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}e^{ax}\,dx

\int e^{ax}\sin bx\,dx={\frac {e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}}(a\sin bx-b\cos bx)+C

\int e^{ax}\cos bx\,dx={\frac {e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}}(a\cos bx+b\sin bx)+C

対数関数を含む積分

\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C

\int \log _{\alpha }x\,dx={\frac {1}{\ln \alpha }}\left({x\ln x-x}\right)+C

\int x^{n}\ln x\,dx={\frac {x^{n+1}}{(n+1)^{2}}}[(n+1)\ln x-1]+C

\int {\frac {1}{x\ln {x}}}\,dx=\ln {(\ln {x})}+C

双曲線関数を含む積分

\int \sinh x\,dx=\cosh x+C

\int \cosh x\,dx=\sinh x+C

\int \tanh x\,dx=\ln \left(\cosh x\right)+C

\int \coth x\,dx=\ln \left(\sinh x\right)+C

\int {\mbox{sech}}\ x\,dx=\arcsin \left(\tanh x\right)+C=\arctan \left(\sinh x\right)+C=\operatorname {gd} x+C\quad \operatorname {gd} x

：グーデルマン関数

\int {\mbox{csch}}\ x\,dx=\ln \left(\tanh {x \over 2}\right)+C

定積分

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\mbox{sin}}^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\mbox{cos}}^{n}x\,dx={\begin{cases}{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdot \cdots \cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}},&{\mbox{if }}n>1{\mbox{ and }}n{\mbox{ is odd}}\\{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdot \cdots \cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}},&{\mbox{if }}n>0{\mbox{ and }}n{\mbox{ is even}}\end{cases}}

微分積分学
Precalculus	二項定理凹関数連続関数階乗有限差分自由変数と束縛変数基本定理関数のグラフ線型関数平均値の定理ラジアンロルの定理割線傾き接線
極限	不定形関数の極限片側極限数列の極限数列の加速法近似のオーダー ε-δ論法
微分法	連鎖律導関数微分微分方程式微分作用素陰関数微分逆関数の微分ロピタルの定理ライプニッツ則対数微分平均値の定理ニュートン法記法ライプニッツの記法ニュートンの記法レギオモンタヌスの問題相対変化率基本法則線型性積商冪函数停留点極値の判定最大値の定理極値テイラーの定理
積分法	逆微分弧長積分定数積分記号下の微分微分積分学の基本定理正割の立方の積分正割関数の積分半角正接置換法積分における部分分数二次有理式の積分円周率が22/7より小さいことの証明基本法則線型性部分積分置換積分台形公式三角函数置換法
ベクトル解析	回転方向微分発散発散定理勾配勾配定理グリーンの定理ラプラシアンストークスの定理
多変数微分積分学	曲率 Disc integration 発散定理外微分ガブリエルのホルン幾何解析ヘッセ行列ヤコビ行列と行列式線積分 Matrix calculus 多重積分偏微分バウムクーヘン積分面積分テンソル解析体積分
級数	アーベルの判定法交代交代級数判定法算術幾何数列二項コーシーの凝集判定法比較判定法ディリクレの判定法オイラー–マクローリンの公式フーリエ幾何超幾何 q超幾何調和無限積分判定法極限比較判定法マクローリン冪比判定法冪根判定法テイラー項判定法
特殊関数と数学定数	ベルヌーイ数ネイピア数オイラー定数指数関数自然対数ガンマ関数スターリングの近似楕円関数
歴史	擬等式ブルック・テイラーコリン・マクローリン代数の一般性ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ無限小無限小解析アイザック・ニュートン連続の法則レオンハルト・オイラー『流率法』 (流率) 『方法』
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原始関数の一覧

a x + b {\displaystyle ax+b} を含む積分

a + b x {\displaystyle {\sqrt {a+bx}}} を含む積分

x 2 ± α 2 ( α ≠ 0 ) {\displaystyle x^{2}\pm {\alpha }^{2}(\alpha \neq 0)} を含む積分

a x 2 + b {\displaystyle ax^{2}+b} を含む積分

a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c(a\neq 0)} を含む積分

a 2 + x 2 ( a > 0 ) {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\;(a>0)} を含む積分

x 2 − a 2 ( x 2 > a 2 ) {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\;(x^{2}>a^{2})} を含む積分

a 2 − x 2 ( a 2 > x 2 ) {\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\;(a^{2}>x^{2})} を含む積分

R = | a | x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) {\displaystyle R={\sqrt {|a|x^{2}+bx+c}}\;(a\neq 0)} を含む積分

三角関数を含む積分

逆三角関数を含む積分

指数関数を含む積分

対数関数を含む積分

双曲線関数を含む積分

定積分

関連項目

$ax+b$ を含む積分

${\sqrt {a+bx}}$ を含む積分

$x^{2}\pm {\alpha }^{2}(\alpha \neq 0)$ を含む積分

$ax^{2}+b$ を含む積分

$ax^{2}+bx+c(a\neq 0)$ を含む積分

${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\;(a>0)$ を含む積分

${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\;(x^{2}>a^{2})$ を含む積分

${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\;(a^{2}>x^{2})$ を含む積分

$R={\sqrt {|a|x^{2}+bx+c}}\;(a\neq 0)$ を含む積分