対数関数の原始関数の一覧

本項は、対数関数の原始関数の一覧である。さらに完全な原始関数の一覧は、原始関数の一覧を参照のこと。

本項では、x > 0 を前提としている。また積分定数は簡便のために省略している。

対数関数のみ

\int \ln ax\;dx=x\ln ax-x

\int \ln(ax+b)\;dx={\frac {(ax+b)\ln(ax+b)-(ax+b)}{a}}

\int (\ln x)^{2}\;dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x

\int (\ln x)^{n}\;dx=x\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\frac {n!}{k!}}(\ln x)^{k}

\int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}

\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}

\int (\ln x)^{x}\;dx=(\ln x)^{x-1}+\left(\ln(\ln x)\right)(\ln x)^{x}

変数の冪を含む積分

\int x^{m}\ln x\;dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}

\int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}

\int {\frac {\left(\ln x\right)^{n}\;dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}

\int {\frac {\ln {x^{n}}\;dx}{x}}={\frac {\left(\ln {x^{n}}\right)^{2}}{2n}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 0{\mbox{)}}

\int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}

\int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}

\int {\frac {x^{m}\;dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}

\int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|

\int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(n-1)^{k}(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}

\int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}

\int \ln \left(x^{2}+a^{2}\right)\;dx=x\ln \left(x^{2}+a^{2}\right)-2x+2a\tan ^{-1}{\frac {x}{a}}

\int {\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}\ln \left(x^{2}+a^{2}\right)\;dx={\frac {1}{4}}\ln ^{2}\left(x^{2}+a^{2}\right)

三角関数を含む積分

\int \sin(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}\left(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\right)

\int \cos(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}\left(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\right)

指数関数を含む積分

\int e^{x}\left(x\ln x-x-{\frac {1}{x}}\right)\;dx=e^{x}(x\ln x-x-\ln x)

\int {\frac {1}{e^{x}}}\left({\frac {1}{x}}-\ln x\right)\;dx={\frac {\ln x}{e^{x}}}

\int e^{x}\left({\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{x\ln ^{2}x}}\right)\;dx={\frac {e^{x}}{\ln x}}

高階積分

\underbrace {{\biggl .}{\biggr .}\int \cdots \int } _{n}\,\ln x\,\underbrace {{\biggl .}{\biggr .}{\,\mathrm {d} }x\cdots {\,\mathrm {d} }x} _{n}={\frac {x^{n}}{n!}}\left(\ln \,x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)+\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}

出典

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover (1965) ISBN 978-0486612720　いくつかの積分がこの古典的書籍のpage 69 に掲載されている。

関連項目

原始関数の一覧
有理関数無理関数三角関数逆三角関数双曲線関数逆双曲線関数指数関数対数関数ガウス関数

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