混線内接円

この内心は、混線内接円が二辺と接する点の中点である。

${\displaystyle \Gamma }$ を三角形 ${\displaystyle ABC}$ の外接円とし、${\displaystyle T_{A}}$ を ${\displaystyle A}$ 混線内接円 ${\displaystyle \Omega _{A}}$ と ${\displaystyle \Gamma }$ の接点とする。${\displaystyle T_{A}}$ と異なる点 ${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ を、それぞれ ${\displaystyle T_{A}D}$ と ${\displaystyle \Gamma }$ の、${\displaystyle T_{A}E}$ と ${\displaystyle \Gamma }$ の交点とする。${\displaystyle T_{A}}$ を中心として ${\displaystyle \Omega _{A}}$ と ${\displaystyle \Gamma }$ のあいだに相似変換を施すことにより、${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ がそれぞれ ${\displaystyle \Gamma }$ の弧 ${\displaystyle AB}$ と ${\displaystyle AC}$ の中点であることがわかる。円周角の定理により、${\displaystyle X,I,C}$ と ${\displaystyle Y,I,B}$ がそれぞれ共線な点の三つ組であることがわかる。パスカルの定理を ${\displaystyle \Gamma }$ に接する六角形 ${\displaystyle XCABYT_{A}}$ に適用することにより、${\displaystyle D,I,E}$ が共線であることがわかる。角 ${\displaystyle \angle {DAI}}$ と ${\displaystyle \angle {IAE}}$ が等しいことから、${\displaystyle I}$ が線分 ${\displaystyle DE}$ の中点であることが従う[2]。

次の公式は内接円の半径 ${\displaystyle r}$ と三角形 ${\displaystyle ABC}$ の ${\displaystyle A}$ 混線内接円の半径 ${\displaystyle \rho _{A}}$ を結びつける[4]。

$${\displaystyle r=\rho _{A}\cos ^{2}{\frac {A}{2}}}$$

このことから即座に次の式が従う：

$${\displaystyle AD=AE={\frac {\rho _{A}}{\tan {\frac {A}{2}}}}={\frac {2r}{\sin {A}}}={\frac {bc}{s}}}$$

ただし ${\displaystyle s}$ は半周長であり、またこの式は点 ${\displaystyle A,B,C}$ と円 ${\displaystyle O}$ に対してケイシーの定理を適用することにより得ることもできる[5]。

• 点 ${\displaystyle A}$ を含む弧 ${\displaystyle BC}$ の中点は直線 ${\displaystyle T_{A}I}$ 上にある[6][7]。
• 四角形 ${\displaystyle T_{A}XAY}$ は調和四角形である。すなわち、${\displaystyle T_{A}A}$ は三角形 ${\displaystyle XT_{A}Y}$ の類似中線である[2]。

• ${\displaystyle T_{A}BDI}$ と ${\displaystyle T_{A}CEI}$ は共円四辺形である[6]。

• ${\displaystyle T_{A}}$ は ${\displaystyle B}$ と ${\displaystyle I}$ をそれぞれ ${\displaystyle I}$ と ${\displaystyle C}$ に写す螺旋相似の中心である[2]。

各頂点と、それに対応する混線内接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の外相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersでは X(56) として紹介されている[8]。三線座標では ${\displaystyle {\frac {a}{c+a-b}}:{\frac {b}{c+a-b}}:{\frac {c}{a+b-c}}}$ であり、重心座標では ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{c+a-b}}:{\frac {b^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c^{2}}{a+b-c}}}$ である。

この点は、三角形の垂心とフォイエルバッハ点、ジェルゴンヌ点とシフラー点を通る直線上にある。また、ナーゲル点の等角共役である。よってこの点はフォイエルバッハ双曲線上にある。混線内接円が外接円と接する点の成す三角形は第三混線三角形（3rd mixtilinear triangle）と呼ばれる[9]。

三つの混線内接円の根心 ${\displaystyle J}$ は、${\displaystyle OI}$ を

$${\displaystyle OJ:JI=2R:-r}$$

に内分する。ここで ${\displaystyle I}$ は内心、${\displaystyle r}$ は内半径、${\displaystyle O}$ は外心、${\displaystyle R}$ は外半径である[7]。

${\displaystyle J}$はミッテンプンクトの等角共役X(57)と内心の中点である。また、重心とジョンソン中点と共線である。Encyclopedia of Triangle CentersではX(999)に該当し三線座標は以下の式で与えられる[10]。

${\displaystyle a(a^{2}+4bc-b^{2}-c^{2}):b(b^{2}+4ca-c^{2}-a^{2}):c(c^{2}+4ab-a^{2}-b^{2})}$