等差×等比数列

初項 a, 公差 d の算術数列 (青) と初項 b, 公比 r の幾何数列 (緑) を合成して得た算術幾何数列の最初のほうの項は

$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}$$

のようになっている[1]。

簡単のため、本項ではこれ以降 b = 1 と仮定して話を進める。

例

例えば数列

$${\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }$$

は d = b = 1, a = 0, r = 1/2 の定める算術幾何数列である。

算術幾何数列の初めの n 項からなる第 n-部分和

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]r^{k-1}\\&=a+[a+d]r+[a+2d]r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\end{aligned}}}$$

は閉じた形の式

$${\displaystyle S_{n}={\frac {a-[a+(n-1)d]r^{n}}{1-r}}+{\frac {dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^{2}}}}$$

で表すことができる。

導出

求める和[1]

$${\displaystyle S_{n}=a+[a+d]r+[a+2d]r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}}$$

に公比 r を掛けて

$${\displaystyle rS_{n}=ar+[a+d]r^{2}+[a+2d]r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}}$$

としてから、辺々引くことにより

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\right]\\[5pt]&{}\qquad -\left[ar+\quad (a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\dotsb \dotsb \qquad +[a+(n-1)d]r^{n}\right]\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]r^{n}\\[5pt]={}&a+{\frac {dr(1-r^{n-1})}{1-r}}-[a+(n-1)d]r^{n}\end{aligned}}}$$

を得る（最後の行、真ん中の項は幾何級数の公式を用いた）。最後に、両辺を (1 − r) で割れば所期の式を得る。

前節の結果の帰結として、算術幾何数列の項の無限和、すなわち算術幾何級数は −1 < r < 1 なるとき、その値 S は

$${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}}$$

で与えられる[1]。

r がほかの範囲にあるときには:

• 発散: r > 1 または [r = 1（このとき算術数列に帰着される）かつ a, d の何れかは 0 でない] のとき[注釈 2]
• 交項級数: r ≤ −1 のとき

例: 期待値の計算

d = b = 1, a = 0, r = 1/2 で定まる算術幾何級数

$${\displaystyle S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots }$$

は収束して S = 2 である。 この数列はコイントスにおいて「テイル」を得るまでの回数の期待値に対応している。k-回目のトスで初めてテイルを得る確率 T_k は、

$${\displaystyle T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}}$$

で与えられる。したがってトス回数の期待値は

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=S=2}$$

である。

• D. Khattar. The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e (New Edition). Pearson Education India. p. 10.8. ISBN 81-317-2876-5. https://books.google.com/books?id=5OffscY1FGYC&pg=SA10-PA8
• P. Gupta. Comprehensive Mathematics XI. Laxmi Publications. p. 380. ISBN 81-7008-597-7. https://books.google.com/books?id=rQtlgvS598MC&pg=PA380

• Arithmetic-Geometric Progression, Brilliant.org