ガンマ関数

（ガンマかんすう、英: gamma function）とは、数学において階乗の概念を複素数全体に拡張した（複素階乗ともいう）特殊関数である。一般的に、ガンマ関数は複素数 $z$ に対して、関数 $\Gamma (z)$ で表される。

y = Γ(x)

のグラフ

Γ(x + iy)

の絶対値
（グラフ中「Re」は

x

に相当、「Im」は

y

に相当）

また、自然数 $n$ に対しては、ガンマ関数と $n$ の階乗との間では次の関係式が成り立つ：

n!=\Gamma (n+1),\ \Gamma (n)=(n-1)!.

互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、1729年、数学者レオンハルト・オイラーによって無限乗積の形で、最初に導入された[1]。

定義

実部が正となる複素数 $z$ に対して、次の広域積分で定義される複素関数：

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t\qquad (\Re {z}>0,)

をガンマ関数と呼ぶ[2]。この積分表示は、アドリアン＝マリ・ルジャンドルの定義にしたがって、第二種オイラー積分とも呼ばれる。元は階乗の一般化としてオイラーが得たもので、 $\Gamma$ という記号は、1814年にルジャンドルが導入したものである[1]。それ以前にガウスは $\Pi$ などと表記していた（ただし、 $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ である）。

一般の複素数 $z$ に対しては、解析接続もしくは次の極限で定義される。

\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod \limits _{k=0}^{n}{(z+k)}}}.

基本的性質

$0$ または負の整数でない、かつ実部が正の任意の複素数 $z$ に対して、

{\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\rm {d}}t\\&={\Bigl [}-e^{-t}t^{z}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+z\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\,{\rm {d}}t\\&=z\Gamma (z)\qquad \left(\because {\Bigl [}-e^{-t}t^{z}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }=0\right)\!,\end{aligned}}

となることから、 $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ が成り立つ。またさらに、

{\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,{\rm {d}}t={\Bigl [}-e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }=\lim _{t\to \infty }\!\left(-e^{-t}+1\right)\\&=1,\end{aligned}}

である。これらの性質から、任意の正の整数 $n$ に対して、

\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)\Gamma (n-1)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!,

より $\Gamma (n+1)=n!$ が成り立つ。その意味でガンマ関数は階乗の定義域を複素平面に拡張したものとなっている。

歴史的には、ガンマ関数は「階乗の複素数への拡張となるもの」（複素階乗）の実例として、オイラーにより考案された。階乗の複素数への拡張となる関数は無数に存在するが、正の実軸上で対数凸である解析関数という条件を付ければ、それは一意に定まりガンマ関数に他ならない（ボーア・モレルップの定理）。

右半平面においてオイラー積分で定義されたガンマ関数は全平面に有理型に解析接続する。

ガンマ関数は零点を持たず、原点と負の整数に一位の極を持つ。その留数は、

\operatorname {Res} (\Gamma ,\,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.

である[3]。

また、 $1/2$ に対するガンマ関数の値は、ガウス積分の結果に一致する。

\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.

これより、自然数 $n$ に対して、

\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}+n\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }},

が成立することがわかる。ここで ${\displaystyle$ は二重階乗を表す。この性質を利用して高次元の球の体積と表面積を求めることができる。また、

\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}-n\right)={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}.

定義の整合性

定義の積分表示と極限表示が一致することを示す。

$G_{n}(z)=\int _{0}^{n}{t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}}{\rm {d}}t$

とすれば

\lim _{n\to \infty }{\left(1-{\dfrac {t}{n}}\right)^{n}}=e^{-t}

であるから直感的には

\lim _{n\to \infty }{G_{n}(z)}=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t

である。（厳密にははさみうちの原理によって証明される） $t = nu$ の置換により

$G_{n}(z)=n^{z}\int _{0}^{1}{u^{z-1}(1-u)^{n}}{\rm {d}}u$

となる． $n z$ を除く部分を $g n (z)$ として

$g_{0}(z)=\int _{0}^{1}{u^{z-1}}{\rm {d}}u=\left[{\frac {u^{z}}{z}}\right]_{u=0}^{1}={\frac {1}{z}}$
$g_{n}(z)=\int _{0}^{1}{\left({\frac {u^{z}}{z}}\right)'(1-u)^{n}}{\rm {d}}u={\frac {n}{z}}\int _{u=0}^{1}{u^{z}(1-u)^{n-1}}{\rm {d}}u={\frac {n}{z}}g_{n-1}(z+1)$

これにより

$G_{n}(z)={\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}$

を得る。故に

$\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\ d}t=\lim _{n\to \infty }G_{n}(z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}$

である。

ワイエルシュトラスの乗積表示

オイラーの乗積表示からオイラーの定数

\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)

を括り出すとワイエルシュトラスの乗積表示が得られる。ワイエルシュトラスはガンマ関数が負の整数に極を持つことを嫌って逆数を用いた。ガンマ関数の逆数は複素平面全体で正則である[4]。

${\frac {1}{\Gamma (z)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}{n^{z}n!}}=\lim _{n\to \infty }zn^{-z}\left(\prod _{k=1}^{n}{e^{z/k}}\right)\left(\prod _{m=1}^{n}{\frac {z+m}{m}}e^{-z/m}\right)=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m}$

ハンケルの積分表示

ガンマ関数は次の周回積分で表される[5]。積分経路は正の無限大から実軸の上側に沿って原点に至り、原点を正の向きに回り、実軸の下側に沿って無限大に戻るものとする。但し、その偏角は $-\pi \leq \arg(-t)\leq \pi ,0\leq \arg(s)\leq 2\pi$ とする。

${\begin{aligned}&\Gamma (z)={\frac {i}{2\sin {\pi }z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\&\Gamma (z)={\frac {1}{e^{2{\pi }iz}-1}}\int _{C}s^{z-1}e^{-s}{\rm {d}}s\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\&{\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}{\rm {d}}t\qquad (z\in \mathbb {C} )\\\end{aligned}}$

これをハンケルの積分表示と呼ぶ。このハンケルの積分表示は、積分経路を適当に変形し、数値積分でガンマ関数の値を求めるために使われることがある[6]。

ハンケルの積分表示の導出

極座標表示 $(-t)=re^{i\theta }$ を用いると、実軸の上側に沿う部分は $\theta =-\pi$ で $r=\infty$ から $r=\delta$ まで、原点を回る部分は $r=\delta$ で $\theta =-\pi$ から $\theta =\pi$ まで、実軸の下側に沿う部分は $\theta =\pi$ で $r=\delta$ から $r=\infty$ までとなる。

${\begin{aligned}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t&=\int _{\infty }^{\delta }(re^{-{\pi }i})^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r+\int _{-\pi }^{\pi }({\delta }e^{i\theta })^{z-1}e^{{\delta }e^{i\theta }}(-i{\delta }e^{i\theta }){\rm {d}}\theta +\int _{\delta }^{\infty }(re^{{\pi }i})^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r\\&=\int _{\infty }^{\delta }r^{z-1}e^{-{\pi }i(z-1)}e^{-r}{\rm {d}}r-\int _{-\pi }^{\pi }i\delta ^{z}e^{i{\theta }z}e^{{\delta }e^{i\theta }}{\rm {d}}\theta +\int _{\delta }^{\infty }r^{z-1}e^{{\pi }i(z-1)}e^{-r}{\rm {d}}r\\&=\left(-e^{-{\pi }i(z-1)}+e^{{\pi }i(z-1)}\right)\int _{\delta }^{\infty }r^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r-\int _{-\pi }^{\pi }i\delta ^{z}e^{i{\theta }z}e^{{\delta }e^{i\theta }}{\rm {d}}\theta \\&=-2i\sin {\pi }z\int _{\delta }^{\infty }r^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r-\int _{-\pi }^{\pi }i\delta ^{z}e^{i{\theta }z}e^{{\delta }e^{i\theta }}{\rm {d}}\theta \\\end{aligned}}$

$\Re {z}>0$ とすると $\delta \to 0$ で $\delta ^{z}\to 0$ であるから

${\begin{aligned}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t&=-2i\sin {\pi }z\int _{0}^{\infty }r^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r\\&=-2i\sin {\pi }z\Gamma (z)\qquad (\Re {z}>0)\\\end{aligned}}$

である。しかし、左辺の被積分関数は $z$ が有界であるかぎり正則であるから、左辺は複素平面全体に解析接続する。従って、

$\Gamma (z)={\frac {i}{2\sin {\pi }z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )$

である。 $s=re^{i\theta }$ とすれば、同様にして

$\Gamma (z)={\frac {1}{e^{2{\pi }iz}-1}}\int _{C}s^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}s\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )$

を得る。また、相反公式により、

${\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {\sin {\pi }z}{\pi }}\Gamma (1-z)={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}{\rm {d}}t\qquad (z\in \mathbb {C} )$

を得る。

スターリングの公式

詳細は「スターリングの公式」を参照

$z\to \infty$ での漸近展開として、ガンマ関数はスターリングの公式で近似される。この漸近近似は複素平面全体(負の実数を除く)で成立するが、 $|{\arg z}|={\pi }$ に近づくにつれ近似の誤差が大きくなる(極限の収束が遅くなる)ため、応用上は相反公式などを用いて $|{\arg z}|\leq {\pi }/2$ 程度に制限することもある。

$\Gamma (z+1)\approx {\sqrt {2{\pi }z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\qquad (|{\arg z}|<{\pi },|z|\gg 0)$
$\lim _{z\to \infty }{\frac {\Gamma (z+1)}{{\sqrt {2{\pi }z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}}=1\qquad (|{\arg z}|<{\pi })$

相反公式

次の恒等式を相反公式(reflection formula)という[7]。

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z)\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin {{\pi }z}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z}$

相補公式とも呼ばれる[8]。この恒等式はオイラーの乗積表示から得られる。

${\begin{aligned}-z\Gamma (z)\Gamma (-z)&=-z\left(\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}\right)\left(\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{-z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(-z+k)}}}\right)\\&={\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-z^{2}}}\\&={\frac {\pi }{{\pi }z\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\displaystyle {\frac {k^{2}-z^{2}}{k^{2}}}}}\\\end{aligned}}$

この分母は正弦関数の無限乗積展開であるから、

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z)\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin {{\pi }z}}}$

である。相反公式に $z={\frac {1}{2}}$ を代入すれば

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi }{\sin {\frac {\pi }{2}}}}=\pi$

となり

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$

を得る。

ルジャンドルの倍数公式

次の恒等式をルジャンドルの倍数公式と呼ぶ。これはガウスの乗法公式の特別な場合である。

$\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)$

証明

ベータ関数は以下のように表される。

\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt

ここで $z_{1}=z_{2}=z$ とおくと、

{\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{z-1}\,dt

$t={\frac {1+x}{2}}$ とおくと

{\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}={\frac {1}{2^{2z-1}}}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{z-1}\,dx

$(1-x^{2})^{z-1}$ は偶関数なので

2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=2\Gamma (2z)\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{z-1}\,dx

ここで

\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=\int _{0}^{1}t^{{\frac {1}{2}}-1}(1-t)^{z-1}\,dt,\quad t=s^{2}

とすると

\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=2\int _{0}^{1}(1-s^{2})^{z-1}\,ds=2\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{z-1}\,dx

よって

2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=\Gamma (2z)\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)

よって

\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma (z)}{\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)}},\quad \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}

よって以下の式が成り立つ。

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).

乗法公式

次の恒等式をガウスの乗法公式(multiplication formula)という。

$\Gamma (nz)={\frac {n^{nz-1/2}}{(2\pi )^{(n-1)/2}}}\prod _{k=0}^{n-1}{\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}$

証明

両辺の比を $f(z)$ とすると

${\begin{aligned}f(z)=&{\frac {n^{nz-1/2}\prod _{k=0}^{n-1}{\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}}{(2\pi )^{(n-1)/2}\Gamma (nz)}}\\\end{aligned}}$
${\begin{aligned}f(z+1)&={\frac {n^{nz-1/2}n^{n}\left[\prod _{k=0}^{n-1}\left(z+{\frac {k}{n}}\right)\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}\right]}{(2\pi )^{(n-1)/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma (nz)}}\\&={\frac {n^{nz-1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}\left(nz+k\right)\right]\prod _{k=0}^{n-1}\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}{(2\pi )^{(n-1)/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma (nz)}}\\&=f(z)\\\end{aligned}}$

故に、任意に大きな自然数 $m$ について $f(z+m)=f(z)$ が成立する。スターリングの公式により

${\begin{aligned}\lim _{\Re {z}\to +\infty }f(z)&=\lim _{\Re {z}\to +\infty }{\frac {n^{nz-1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}{{\sqrt {\frac {2{\pi }}{z+k/n}}}\left({\frac {z+k/n}{e}}\right)^{z+k/n}}\right]}{(2\pi )^{(n-1)/2}{\sqrt {\frac {2{\pi }}{nz}}}\left({\frac {nz}{e}}\right)^{nz}}}\\&=\lim _{\Re {z}\to +\infty }z^{1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}e^{-k/n}\right]\\&=\lim _{\Re {z}\to +\infty }z^{1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}e^{k/n}e^{-k/n}\right]\\&=1\end{aligned}}$

途中で

$\lim _{\Re {z}\to +\infty }(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}=\lim _{\Re {z}\to +\infty }(1+k/nz)^{z}=e^{n/k}$

を適用した。

$f(z)=\lim _{n\to \infty }f(z+n)=1$

であり、故に

$\Gamma (nz)={\frac {n^{nz-1/2}}{(2\pi )^{(n-1)/2}}}\prod _{k=0}^{n-1}{\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}$

が成立する。

微分方程式

$(x,\ y,\ y_{1},\ \ldots ,\ y_{n})$ を変数とする多項式 $F(x,\ y,\ y_{1},\ \ldots ,\ y_{n})$ に対し、

$F(x,y,y_{1},\cdots ,y_{n})=0,\quad y_{i}={\frac {d^{i}y}{dx^{i}}}\quad (i=1,\cdots ,n)$

の形で表される微分方程式を代数的微分方程式という。ガンマ関数はいかなる代数的微分方程式も満たさないことが知られている[7]。ヘルダーが1887年に最初に証明を与えた後 [9]、E. H. ムーア[10]、A. オストロフスキ[11][12]、E. バーンズ[13]、ハウスドルフ[14]により、別証明や一般化がなされた。

いくつかの具体的な値

「:en:Particular values of the gamma function」も参照

$\Gamma \left(-{\frac {3}{2}}\right)\,={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\approx 2.363\,$
$\Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)\,=-2{\sqrt {\pi }}\approx -3.545\,$
$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,={\sqrt {\pi }}\approx 1.772\,$
$\Gamma (1)\,=0!=1\,$
$\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)\,={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\approx 0.886\,$
$\Gamma (2)\,=1!=1\,$
$\Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)\,={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\approx 1.329\,$
$\Gamma (3)\,=2!=2\,$
$\Gamma \left({\frac {7}{2}}\right)\,={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\approx 3.323\,$
$\Gamma (4)\,=3!=6\,$

ポリガンマ関数

詳細は「ポリガンマ関数」を参照

ガンマ関数の対数微分

\psi (z)={\frac {d}{dz}}\log \Gamma (z)

をディガンマ関数（Digamma function）と呼ぶ。同様の対数微分を繰り返した関数

\psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\log \Gamma (z)

を、ポリガンマ関数（Polygamma function）と呼ぶ。

脚注

E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927), Chapter XII, §12.1
Wolfram mathworld: Gamma Function
福原 1951, p. 94.
福原 1951, p. 97.
Springer Online Reference Works: Gamma-function
Schmelzer & Trefethen (2007), Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
小松 (2004)、第2章
神保 2003, 定理 5.15.
Otto Ludwig Hölder, "Über die Eigenschaft der Gammafunction keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen," Math. Ann., 28, (1887) pp. 1–13. doi:10.1007/BF02430507
Eliakim Hastings Moore, "Concerning transcendentally transcendental functions," Math. Ann., 48 (1897), pp. 49–74. doi:10.1007/BF01446334
A. Ostrowski, "Neuer Beweis der Hölderschen Satzes, dass die Gammafunktion keiner algebraischen Differntialgleichung genügt." Math. Ann. 79 (1919), pp. 286–288. doi:10.1007/BF01458212
A. Ostrowski, "Zum Hölderschen Satz über Γ(x). Math. Ann. 94 (1925), pp. 248–251. doi:10.1007/BF01208657
E. W. Barnes, "The theory of the Gamma function," Messenger of Math. 29 (1900), pp. 64–128.
F. Hausdorff, "Zum Hölderschen Satz über Γ(x)," Math. Ann. 94 (1925), pp. 244–247. doi:10.1007/BF01208656

参考文献

エミール・アルティン『ガンマ関数入門』上野健爾訳・解説、日本評論社〈はじめよう数学6〉、2002年10月25日。ISBN 4-535-60846-6。
小松勇作『特殊函数』（復刊）朝倉書店〈近代数学講座5〉、2004年3月15日。ISBN 978-4-254-11655-7。
神保, 道夫『複素関数入門』岩波書店〈現代数学への入門〉、2003年。ISBN 4-00-006874-1。
寺沢寛一『自然科学者のための数学概論』（増訂版）岩波書店、1983年5月18日。ISBN 978-4-00-005480-5。
福原満洲雄『ガンマー函数』弘文堂、1951年。NDLJP:1370086。
Milton Abramowitz; Irene A. Stegun, ed (1965-06-01). Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Books on Mathematics. Dover Publications. ISBN 0-486-61272-4
E. T. Whittaker; G. N. Watson (1996-09-13) [1927]. A Course of Modern Analysis. Cambridge Mathematical Library (4th ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3

外部リンク

竹之内脩『ガンマ関数』 - コトバンク
Weisstein, Eric W. "Gamma Function". mathworld.wolfram.com (英語).
ガンマ関数とベータ関数 (PDF) （日本語）

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[Whittaker&Watson1927_sect12_1-1] E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927), Chapter XII, §12.1

[2] Wolfram mathworld: Gamma Function

[FOOTNOTE福原195194-3] 福原 1951, p. 94.

[FOOTNOTE福原195197-4] 福原 1951, p. 97.

[5] Springer Online Reference Works: Gamma-function

[6] Schmelzer & Trefethen (2007), Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations

[小松2004_第2章-7] 小松 (2004)、第2章

[FOOTNOTE神保2003定理_5.15-8] 神保 2003, 定理 5.15.

[helder-9] Otto Ludwig Hölder, "Über die Eigenschaft der Gammafunction keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen," Math. Ann., 28, (1887) pp. 1–13. doi:10.1007/BF02430507

[moore-10] Eliakim Hastings Moore, "Concerning transcendentally transcendental functions," Math. Ann., 48 (1897), pp. 49–74. doi:10.1007/BF01446334

[ostrowski1-11] A. Ostrowski, "Neuer Beweis der Hölderschen Satzes, dass die Gammafunktion keiner algebraischen Differntialgleichung genügt." Math. Ann. 79 (1919), pp. 286–288. doi:10.1007/BF01458212

[ostrowski2-12] A. Ostrowski, "Zum Hölderschen Satz über Γ(x). Math. Ann. 94 (1925), pp. 248–251. doi:10.1007/BF01208657

[barnes-13] E. W. Barnes, "The theory of the Gamma function," Messenger of Math. 29 (1900), pp. 64–128.

[hausdorff-14] F. Hausdorff, "Zum Hölderschen Satz über Γ(x)," Math. Ann. 94 (1925), pp. 244–247. doi:10.1007/BF01208656

積分
積分法	リーマンルベーグバーキルボホナーダニエルダルブー HK マクシェイン不変ヘリンガーヒンチンコルモゴロフ LS ペティスプフェッファー RS 方正
計算法	部分積分置換積分逆函数の積分積分の順序三角函数置換部分分数分解を通じた積分漸化式による積分媒介変数微分を用いた積分オイラーの公式を用いた積分積分記号下の微分複素線積分
広義積分	ガウス積分ガンマ関数
確率積分	伊藤積分ストラトノヴィッチ積分スコロホッド積分
数値積分	台形公式ガウス求積ガウス＝クロンロッド求積法二重指数関数型数値積分公式
積分方程式	フレドホルム積分方程式ヴォルテラ積分方程式